Cirkel af Mohr

Den Mohr cirkel er en grafisk repræsentation af tilstande af stress i to dimensioner, som påtænkte Christian Otto Mohr i 1882 .

I en graf, hvor den vandrette akse repræsenterer amplituden af den normale spænding, og den lodrette akse repræsenterer amplituden af forskydningsspændingen , er Mohr-cirklen stedet for spændingstilstande ved et punkt P, når skæreplanet kredser omkring punkt P. Det er en cirkel centreret på den vandrette akse, hvis skæringspunkt med den vandrette akse svarer til de to hovedbegrænsninger ved punkt P.

Denne cirkel er bygget ud fra viden om de eksterne kræfter, som delen er udsat for. Det gør det muligt at bestemme:

hovedretningerne såvel som hovedspændingerne σ I , σ II og σ III ; $({\ vec {x}} _ {{\ mathrm {I}}}, {\ vec {x}} _ {{\ mathrm {II}}}, {\ vec {x}} _ {{\ mathrm { III}}})$
den retning, som vi har den maksimale spaltning for τ, som derfor er den sandsynlige retning for fiasko (orienteringen af fiaskofacies ) såvel som værdien af denne spænding.

Problematisk

Grafisk gengivelse af stresstilstanden

Mohrs cirkel er en grafisk gengivelse af stresstilstanden. Det tillader en grafisk opløsning af valideringen ved den ultimative grænsetilstand i henhold til Tresca-kriteriet (maksimal cission). Det er således en hurtig metode og kræver få beregningsmetoder sammenlignet med behandlingen af spændingens tensor , men med en præcision begrænset af layoutet.

Bemærk, at Mohr-cirklen repræsenterer stresstilstanden på et givet punkt.

Søg efter maksimal cission

Bruddet af et duktilt materiale - dette er tilfældet med de fleste metaller ved stuetemperatur for moderate belastningshastigheder - forekommer altid i forskydning : den krævede kraft til at "rive af" atomerne er meget større end det. Nødvendigt for at glide atomer oven på hinanden (se Plastisk deformation ). For en given belastning på en del er det derfor nødvendigt at vide i hvilket afsnit cission τ (tau) er maksimum.

Lad os tage sagen om simpel trækkraft eller enakset trækkraft på et cylindrisk eksemplar. Det er kendt, at under denne test vil frakturansigterne begynde, når den er orienteret ved 45 ° i forhold til prøveaksen. Hvis vi betragter et tværsnit af teststykket, har det et område S 0 ; den kraft F, som man anvender, er normal for dette afsnit, man har således en normal spænding σ 0, som er værd:

\ sigma _ {0} = {\ frac {{\ mathrm {F}}} {{\ mathrm {S}} _ {0}}}

og nul forskydning.

Overvej et afsnit, der er skråtstillet i en vinkel med det oprindelige afsnit; det har et område . Hvis man projicerer kraften på det normale til dette afsnit, opnår man en normal kraft af modulus . Den normale spænding σ 1 er så værd: $\ theta$ ${\ displaystyle S_ {1} = {\ frac {S_ {0}} {\ cos (\ theta)}}}$ ${\ vec {\ mathrm {F}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ vec {{\ mathrm {N}}}} _ {1}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {F}} \ cos (\ theta)}$

{\ displaystyle \ sigma _ {1} = {\ frac {\ mathrm {N} _ {1}} {\ mathrm {S} _ {1}}} = \ cos (\ theta) ^ {2} \ sigma _ {0} = {\ frac {1+ \ cos (2 \ theta)} {2}} \ sigma _ {0}}

Hvis man projicerer på sektionen, opnår man en modulkraft . Spaltningen τ 1 er derefter værd: ${\ vec {\ mathrm {F}}}$ ${\ vec {{\ mathrm {T}}}} _ {1}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {F}} \ sin (\ theta)}$

{\ displaystyle \ tau _ {1} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {1}} {\ mathrm {S} _ {1}}} = \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ sigma _ {0} = {\ frac {\ sin (2 \ theta)} {2}} \ sigma _ {0}}

Jo mere sektionen er skrå, jo større er T, men jo større S er. Forholdet τ = T / S præsenterer et maksimum for en sektion placeret ved 45 ° , hvilket forklarer de svage facies.

Hvis vi nu tegner den parametriserede kurve (σ, τ) når den varierer, ser vi, at vi får en cirkel med diameter, der passerer gennem oprindelsen, Mohr-cirklen. $\ theta$ $\ sigma _ {0}$

Brud ansigterne ved de enaksige tests (trækkraft eller kompression) fremhæver denne retning af maksimal cission ved 45 °.

Trækstyrkefejl i en 8 mm diameter aluminiumsprøve med et 45 ° brudplan
Trækfejl i en stålprøve med rektangulær sektion 10 mm × 3 mm med et brudplan ved 45 °
Kompressionsfejl i en betonprøve; brudplanet er ikke ved 45 ° på grund af intergranular friktion

Tegning af cirklen for planbegrænsninger

Almindelig sag

Overvej et punkt P af et fast stof med en plan stresstilstand. Dette er typisk et punkt på overfladen af en del, hvor der ikke påføres nogen ydre kraft: intet hydrostatisk tryk, ingen kontakt med en anden del (fri overflade).

Vi antager her, at man er i en tilstand af plane spændinger i planet ( x , y ). Den tensor af spændingerne er således symmetrisk og af formen

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}}} = {\ begynder {pmatrix} \ sigma _ {{x}} & \ tau _ {{xy}} & 0 \\ & \ sigma _ {{y} } & 0 \\ && 0 \ end {pmatrix}}

med:

σ x : normal belastning i ansigtet normal til x- aksen ;
σ y : normal belastning på ansigtet normal til y- aksen ;
τ xy : forskydningsspænding i ansigtet normal til z-aksen.

Overvej en enhedsvektor i planet ( x , y ). Den stress, der påføres i P på et ansigt vinkelret på denne vektor, er . Det indrømmer en kollinær komponent til og en ortogonal komponent til . Sættet af par, når det drejer sig i ( x , y ) -planet, beskriver en cirkel, som er den søgte Mohr-cirkel. Denne cirkel tillader for diameter segmentet [AB] hvor: ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {n}, \ tau _ {n})}$ ${\ vec {n}}$

punkt A beskriver belastningerne i ansigtet normale til x . Dens koordinater er (σ x , τ xy );
punkt B beskriver belastningerne i ansigtet normale til y . Dens koordinater er (σ y , -τ xy ).

som gør det let at bygge det. Egenskaberne for denne cirkel er som følger:

Cirklen har derfor midtpunktet for [AB], abscissa C z = (σ x + σ y ) / 2. Hvis A og B ikke er på den vandrette akse, er midten i skæringspunktet mellem [AB] og σ n- aksen .
Cirkelens radius er lig med : og denne radius er lig med den maksimale cission τ max . ${\ mathrm {R}} _ {z} = {\ frac {{\ mathrm {AB}}} {2}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2}} \ right) ^ {2} + \ tau _ {{xy}} ^ {2}}}$
Abscissas af skæringspunkterne mellem cirklen og aksen er gyldige og svarer til hovedspændingerne og . ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} \ pm R_ {z}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {I}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {II}}}$
Hvis vi ønsker at kende begrænsningerne i forbindelse med en vektor, der danner en vinkel x med x- aksen i ( x , y ) -planet , skal vi tage koordinaterne for punktet C placeret i en vinkel -2θ af punktet A på cirklen (dvs. vinklen er -2θ). ${\ vec {n}}$ $(\ overrightarrow {{\ mathrm {OA}}}, \ overrightarrow {{\ mathrm {OC}}})$
Hvis vi kalder -2θ p for den vandrette vinkel med punktet A (dvs. ), gives den første hovedretning af vektoren, der danner en vinkel θ p med x- aksen , den anden hovedretning er vinkelret på den. Aksen σ n svarer til disse hovedretninger, og aksen τ n repræsenterer retningerne for maksimal spaltning; de geometriske akser x og y er repræsenteret af diameteren [AB]. $(\ overrightarrow {{\ mathrm {OA}}}, \ sigma _ {{\ mathrm {n}}}) = - 2 \ theta _ {{\ mathrm {p}}}$ ${\ vec {n}}$

Demonstration

Lad være komponenterne i vektoren i planet ( x , y ). Komponenterne i i det samme plan er . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos (\ theta) \\\ sin (\ theta) \ end {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos (\ theta) \ sigma _ {x} + \ sin (\ theta) \ tau _ {xy} \\\ cos (\ theta) \ tau _ {xy} + \ sin (\ theta) \ sigma _ {y} \ end {pmatrix}}}$

Komponenten i denne vektor ifølge vektoren er lig med dens skalære produkt ved : ${\ displaystyle \ sigma _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ vec {n}} \ cdot {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}} = \ cos (\ theta) ^ {2 } \ sigma _ {x} +2 \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ tau _ {xy} + \ sin (\ theta) ^ {2} \ sigma _ {y} = {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} + \ cos (2 \ theta) {\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2}} + \ sin (2 \ theta) \ tau _ {xy}}

Dens komponent vinkelret på er lig med punktproduktet af komponentvektoren , som er direkte vinkelret på , hvilket giver: ${\ displaystyle \ tau _ {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \, {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} - \ sin (\ theta) \\\ cos (\ theta) \ end {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$

{\ displaystyle \ tau _ {n} = \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x}) - \ sin (\ theta) ^ {2} \ tau _ {xy} + \ cos (\ theta) ^ {2} \ tau _ {xy} = \ sin (2 \ theta) {\ frac {\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x}} {2} } + \ cos (2 \ theta) \ tau _ {xy}}

Vi får punkt A for og punkt B for . ${\ displaystyle \ theta = 0 \; {\ rm {mod}} \; \ pi}$ ${\ displaystyle \ theta = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}$

Lad , og vær vinklen sådan, at og . Vi får derefter: ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {z} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2}} \ right) ^ {2} + \ tau _ {xy} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ rm {P}}}$ ${\ displaystyle \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}}) = {\ frac {\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}} {2 \ mathrm {R} _ {z}}} }$ ${\ displaystyle \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}}) = {\ frac {\ tau _ {xy}} {\ mathrm {R} _ {z}}}}$

{\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} + \ mathrm {R} _ {z} (\ cos (2 \ theta) \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}}) + \ sin (2 \ theta) \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}})) = {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} + \ mathrm {R} _ {z} \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}} - 2 \ theta)}

{\ displaystyle \ tau _ {n} = \ mathrm {R} _ {z} (- \ sin (2 \ theta) \ cos (2 \ theta _ {\ rm {P}}) + \ cos (2 \ theta ) \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}})) = \ mathrm {R} _ {z} \ sin (2 \ theta _ {\ rm {P}} - 2 \ theta)}

Det kan derfor ses, at når det varierer, beskriver koordinatpunktet cirklen med centrum O for koordinater og radius . [AB] er en af diametrene og er vinklen . $\ theta$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {n}, \ tau _ {n})}$ ${\ displaystyle ({\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}}, 0)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {z}}$ ${\ displaystyle 2 \ theta _ {\ rm {P}}}$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {n}, {\ overrightarrow {\ mathrm {OA}})}}$

De vigtigste begrænsninger er egenværdierne for og er rødderne for det karakteristiske polynom . Disse to rødder er gode . Vi får dem på Mohr-cirklen til . ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}}}$ ${\ displaystyle (X- \ sigma _ {x}) (X- \ sigma _ {y}) - \ tau _ {xy} ^ {2} = X ^ {2} - (\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}) X + \ sigma _ {x} \ sigma _ {y} - \ tau _ {xy} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {x} + \ sigma _ {y}} {2}} \ pm \ mathrm {R} _ {z}}$ ${\ displaystyle \ theta = \ theta _ {\ rm {P}} \; {\ rm {mod}} \; {\ frac {\ pi} {2}}}$

Biaxial stress

Det generelle tilfælde forenkles, hvis akserne x og y i koordinatsystemet vælges således, at de er hovedretningerne for spændingstensoren i punkt P. I dette tilfælde er det nul, og spændingstilstanden siges at være biaksial. Det kan typisk være et punkt i den fri luft af en trykbeholder, eller ellers et punkt på et ark, der udsættes for to par kræfter vinkelret i arkets plan. ${\ displaystyle \ tau _ {xy}}$

Resultaterne af det foregående afsnit er forenklet som følger:

Cirklen tillader for koordinaterne (σ x , 0) og (σ y , 0) for diameter .
centrum af cirklen har abscissen (σ x + σ y ) / 2;
Mohr-cirkelens radius, lig med den maksimale cission, er (σ x - σ y ) / 2 (forudsat at σ x er større end σ y ). Bemærk, at σ x eller σ y kan være negativ.

Bemærk, at cirklen i tilfældet σ x = - σ y er centreret ved oprindelsen og er identisk med den cirkel, der opnås i tilfælde af en ren forskydning med en nominel spaltning lig med σ x . Den mekaniske tilstand er derfor identisk, og hvis materialet er isotrop, er materialets tilstand identisk, kun orienteringen ændres.

Uniaxial stress

Hvis og , får vi en uniaxial stresstilstand. Disse er typisk: ${\ displaystyle \ tau _ {xy} = 0}$ $\ sigma _ {y} = 0$

fra ethvert punkt i en retlinet del ( bjælke ), der gennemgår spænding eller kompression i aksen (par lige og modsatte kollinære kræfter): forbindelsesstang, forbindelsesstang, bjælke af en trellis , af et træk- eller kompressionsprøve; vi kalder x kraftaksen;
fra ethvert punkt i en lige del i ren bøjning (central del af en 4-punkts bøjning ) vi kalder x aksens del;
fra ethvert punkt på den øvre eller nedre overflade af en bjælke i enkeltbøjning (3-punktsbøjning).

Dette er tilfældet med eksemplet, der behandles i afsnittet Søgning efter den maksimale cission . Vi finder resultaterne i foregående afsnit med : $\ sigma _ {y} = 0$

Mohr-cirklen indrømmer for diameter koordinaterne (0,0) og (σ x , 0).
Det er derfor tangent til aksen τ n . Det er på siden af σ n positivt i tilfælde af trækkraft og på siden af σ n negativ i kompression.
Dets centrum er ved abscissapunktet C z = σ x / 2.
Dens radius, lig med den maksimale forskydning, er værd τ max = R z = σ x / 2 (eller dens absolutte værdi, hvis σ x er negativ).

Ren forskydning

Ren forskydning opstår, når spændingstensoren er sådan, at σ x = σ y = 0, og τ xy ikke er nul. Det er tilfældet med et rør i vridning eller med en forskåret del, men kun på planet med den neutrale fiber (den enkle klipning ledsages af en let bøjning).

Mohrs cirkel bekræfter derefter:

Dens centrum er oprindelsen, C z = 0.
Den maksimale forskydningsspænding, lig med dens radius, er også den nominelle spaltning τ xy : τ max = R z = τ xy .
De vigtigste retninger er referencens halveringslinjer ( x , y ) (lige linje ved 45 ° i det virkelige rum) med σ I = -σ II = τ xy .

Tegning af cirklen for treaksiale belastninger

Forenklet sag

Spændingstilstanden ved punkt P siges at være triaksial, når spændingstensoren er diagonal med ikke-nul diagonale termer. Det er typisk et punkt på et fast stof, der udsættes for hydrostatisk eller lithosatisk tryk og for trækkraft eller kompression. Den triaksiale test er en test udført på jord ( geoteknisk ).

Spændingens tensor er af formen

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}}} = {\ begynder {pmatrix} \ sigma _ {x} & 0 & 0 \\ & \ sigma _ {y} & 0 \\ && \ sigma _ {z } \ end {pmatrix}}

og vi antager, at σ x ≥ σ y ≥ σ z . Hvis man betragter en overflade af normal , er vektorbegrænsningerne værd ${\ vec {n}} (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z})$

{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {\ vec {n}} = {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \; {\ vec {n}} = {\ begin {pmatrix } \ sigma _ {x} n_ {x} \\\ sigma _ {y} n_ {y} \\\ sigma _ {z} n_ {z} \ end {pmatrix}}}

har som komponenter:

den normale spænding er komponenten ifølge vektoren : ; $\ sigma$ ${\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {\ vec {n}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle \ sigma = {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {\ mathrm {T}}} _ {\ vec {n}} = {\ vec {n}} \ cdot {\ bar {\ bar {\ sigma}}} \; {\ vec {n}} = \ sigma _ {x} n_ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ { z} n_ {z} ^ {2}}$
den tangentielle komponent opnås ved hjælp af Pythagoras sætning : enten . $\ tau$ ${\ displaystyle \ | {\ vec {\ mathrm {T}}} ({\ vec {n}}) \ | ^ {2} = \ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}}$ $\ sigma _ {x} ^ {2} n_ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ {z} ^ {2} n_ { z} ^ {2} = \ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}$

Hvis vi tilføjer det faktum, at vektoren er en enhedsvektor, har vi et system med tre ligninger, hvor vi vil overveje, at de tre ukendte er n x 2 , n y 2 og n z 2 : ${\ vec {n}}$

\ venstre \ {{\ begynder {justeret} n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = \ & 1 \\\ sigma _ {x} n_ { x} ^ {2} + \ sigma _ {y} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ {z} n_ {z} ^ {2} = \ & \ sigma \\\ sigma _ {x} ^ {2} n_ {x} ^ {2} + \ sigma _ {y} ^ {2} n_ {y} ^ {2} + \ sigma _ {z} ^ {2} n_ {z} ^ {2} = \ & \ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2} \\\ ende {justeret}} \ højre.

hvis determinant er værd ( Vandermonde matrix ):

{\ begin {vmatrix} 1 & 1 & 1 \\\ sigma _ {x} & \ sigma _ {y} & \ sigma _ {z} \\\ sigma _ {x} ^ {2} & \ sigma _ { y} ^ {2} & \ sigma _ {z} ^ {2} \\\ end {vmatrix}} = (\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {z}) (\ sigma _ {z} - \ sigma _ {x})

Opløsningen af dette system ( Cramer's regel ) giver:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} n_ {x} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma - \ sigma _ {y}) (\ sigma - \ sigma _ {z})} {(\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}) (\ sigma _ {x} - \ sigma _ {z})}} \\ n_ {y} ^ {2 } = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma - \ sigma _ {z}) (\ sigma - \ sigma _ {x})} {(\ sigma _ {y} - \ sigma _ {z}) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x})}} \\ n_ {z} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma - \ sigma _ {x}) (\ sigma - \ sigma _ {y})} {(\ sigma _ {z} - \ sigma _ {x}) (\ sigma _ {z} - \ sigma _ {y})} } \\\ ende {justeret}} \ højre.}

Lad os stille:

C x = (σ y + σ z ) / 2, R x = (σ y - σ z ) / 2;
C y = (σ x + σ z ) / 2, R y = (σ x - σ z ) / 2;
C z = (σ x + σ y ) / 2, R z = (σ x - σ y ) / 2.

Systemet svarer derefter til:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} n_ {x} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma -C_ {x}) ^ {2} -R_ {x} ^ {2}} {(\ sigma _ {x} - \ sigma _ {y}) (\ sigma _ {x} - \ sigma _ {z})}} \\ n_ {y} ^ {2 } = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma -C_ {y}) ^ {2} -R_ {y} ^ {2}} {(\ sigma _ {y} - \ sigma _ {z}) (\ sigma _ {y} - \ sigma _ {x})}} \\ n_ {z} ^ {2} = \ & {\ frac {\ tau ^ {2} + (\ sigma -C_ {z}) ^ {2} -R_ {z} ^ {2}} {(\ sigma _ {z} - \ sigma _ {x}) (\ sigma _ {z} - \ sigma _ {y})} } \\\ ende {justeret}} \ højre.}

Under hensyntagen til nævnernes tegn (den anden ligning er negativ, mens de to andre er positive), og det faktum, at medlemmerne af ligningerne er positive eller nul kvadrater, udleder vi de tre uligheder:

\ left \ {{\ begin {align} \ tau ^ {2} + (\ sigma - {\ mathrm {C}} _ ​​{x}) ^ {2} \ geqslant \ & {\ mathrm {R}} _ {x} ^ {2} \\\ tau ^ {2} + (\ sigma - {\ mathrm {C}} _ ​​{y}) ^ {2} \ leqslant \ & {\ mathrm {R}} _ {y} ^ {2} \\\ tau ^ {2} + (\ sigma - {\ mathrm {C}} _ ​​{z}) ^ {2} \ geqslant \ & {\ mathrm {R}} _ {z} ^ {2} \\\ ende {justeret}} \ højre.

I planet (σ, τ), repræsentationen af opløsningerne af ligningerne T 2 + (σ - C i ) 2 = R i 2 er cirkler med centrum C i og radius R i . Derfor er værdisættet (σ, τ) for alle mulige retninger af en overflade afgrænset af tre cirkler. ${\ vec {n}}$

Denne figur kaldes "Mohrs trehjulet cirkel", både fordi det er tre Mohr-cirkler, men også fordi det ligner arbelos , en form undersøgt blandt andre af navnebroren Georg Mohr .

Hver af cirklerne er den cirkel, som vi ville have, hvis vi blev placeret i en sammenhæng med biaksiale begrænsninger, (σ y , σ z ), (σ x , σ z ) og (σ x , σ y ). For at tegne trehjulet ved at kende σ x , σ y og σ z henviser vi derfor til de tidligere tilfælde.

Vi bemærker, at alle cirklerne tangerer to og to, og at den største cirkel er cirklen med radius R y , hvilket svarer til planet ( x , z ). Den maksimale cission er derfor

τ max = R y = (σ x - σ z ) / 2.

Generalisering

Den triaksiale spændingstilstand er faktisk den generelle tilstand: hvis der er en spændingstensor, hvor ingen komponent er nul

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}}} = {\ begynder {pmatrix} \ sigma _ {x} & \ tau _ {{xy}} & \ tau _ {{xz}} \\ & \ sigma _ {y} & \ tau _ {{yz}} \\ && \ sigma _ {z} \ end {pmatrix}}

vi ved, at der findes et ortonormalt koordinatsystem, hovedkoordinatsystemet, hvor tensoren er af formen

{\ bar {{\ bar {\ sigma}}}} = {\ begynder {pmatrix} \ sigma _ {{{\ mathrm {I}}}} & 0 & 0 \\ & \ sigma _ {{{\ mathrm {II}}}} & 0 \\ && \ sigma _ {{{\ mathrm {III}}}} \ end {pmatrix}}

hvilket bringer os tilbage til den foregående sag.

Den triaksiale spændingstilstand kan komme fra en kompleks belastning, men også ganske enkelt fra delens form. For eksempel udviser en hakket prøve, der anvendes til en Charpy-test, en triaksial spændingstilstand i hakbunden, når den kun udsættes for bøjning.

Degenereret sag

Overvej tilfældet, hvor σ II = σ III . Vi har :

C I = σ II , R I = 0;
C II = C III = (σ I + σ II ) / 2;
R II = R III = (σ I - σ II ) / 2.

Vi ser, at cirklen I reduceres til et punkt, og at cirklerne II og III er forvirrede. Vi har derfor kun en cirkel, der er identisk med det biaksiale tilfælde.

Hvis de tre hovedbegrænsninger er ens, reduceres denne cirkel til et punkt.

Andre Mohr-kredse

På samme måde kan vi plotte:

en Mohr-cirkel af deformationerne;
i sammenhæng med pladeteori , en Mohr-cirkel af øjeblikke.

Mohr cirkel af deformationer

Vi får Mohr-cirklen af deformationerne ved at tegne diagrammet (ε ii , ε ij ) i ≠ j , eller hvis vi foretrækker at bruge afvigelsen i den rette vinkel γ ij , diagrammet (ε ii , ½γ ij ) i ≠ j .

Cirkelens vandrette akse, ε, repræsenterer hovedretningerne. Den lodrette akse, ½γ, repræsenterer den maksimale glidevinkelretning.

Denne Mohr-cirkel er meget nyttig i ekstensometri til at analysere resultaterne givet af en roset af stregmålere .

Mohrs cirkel af øjeblikke

Overvej en rektangulær tynd plade, der gennemgår to jævnt fordelte lineære øjeblikke: M x langs siden parallelt med x- aksen og M y langs siden parallelt med y- aksen . Disse lineære øjeblikke har for enhed newton (N m / m). Disse er bøjningsmomenter (de skaber bøjning ).

Hvis vi laver et snit langs et plan, der danner en vinkel α omkring z-aksen, ser vi, at dette ansigt gennemgår et bøjningsmoment, som kurver ansigtet og et torsionsmoment, der skråner det. Ved at skrive ligevægten af denne del af pladen ser vi, at det øjeblik, der udøves på overfladen af snittet, kan nedbrydes til et vektornormalt øjeblik m nn , der skaber torsionen (sektionen drejer i planet) og et tangentielt øjeblik vektor m nt, som skaber bøjningen (pladen er buet). Vi befinder os i en situation svarende til normale og tangentielle belastninger.

Vi kan således tegne et diagram ( m nn , m nt ), og vi får en cirkel. Skæringspunktet for denne cirkel med aksen m n giver hovedsektionerne, det vil sige de sektioner, hvor momentet er nul.