Pontriaguine klasse

I matematik er de Pontryagin klasser er karakteristiske klasser forbundet med vektor bundter virkelige, opkaldt efter Lev Pontryagin . Pontriaguine-klasser tilhører kohomologigrupper af grad et multiplum af fire.

Definitioner

Lad E være en reel vektor bundt løbet M . Den k -Pontriaguine klasse p k ( E ) er defineret af:

p k ( E ) = p k ( E , ℤ) = (−1) k c 2 k ( E ⊗ ℂ) ∈ H 4 k ( M , ℤ),

eller

c 2 k ( E ⊗ ℂ) er 2 k- th Cherneklassen af komplekset E ⊗ ℂ = E ⊕ iE af E ;
H 4 k ( M , ℤ) er den 4 k 'te cohomology gruppe M med heltal koefficienter.

Den samlede Pontriaguine klasse defineres af

p (E) = 1 + p_ {1} (E) + p_ {2} (E) + \ cdots \ i H ^ {*} (M, \ mathbb {Z}).

Den rationelle Pontriagin-klasse p k ( E , ℚ) er defineret som billedet af p k ( E ) i H 4 k ( M , ℚ), den 4 k- th kohomologigruppe af M med rationelle koefficienter.

Ejendomme

For to rigtige vektorbundter E og F over M ,

2p (E \ oplus F) = 2 (p (E) \ smile p (F)),

hvor er kopproduktet . $\ smil$

Det vil sige for klasserne i Pontriaguine p k ,

2p_ {1} (E \ oplus F) = 2p_ {1} (E) + 2p_ {1} (F);

2p_ {2} (E \ oplus F) = 2p_ {2} (E) + 2p_ {1} (E) \ smile p_ {1} (F) + 2p_ {2} (F);

...

Hvis E er en ægte orienteret vektorbundt af dimension 2 k , af Euler klasse e ( E ) ∈ H 2 k ( M , ℤ), så

p_ {k} (E) = e (E) \ smile e (E).

Ansøgninger

Pontriaguine klasser af en række

Pontriaguine-klasser i en glat manifold defineres som værende Pontriaguine-klasser i dens tangentbundt .

Sergei Novikov viste i 1966, at hvis to sorter er homomorfe, så er deres rationelle Pontriagin-klasser ens.

Pontriaguine klasser og krumning

Pontriaguine tal

Pontriaguine tal er topologiske invarianter af en glat manifold. De defineres ved hjælp af Pontriaguine-klasser:

lad M være en glat manifold med dimension 4 n og k 1 , k 2 , ..., k m være naturlige tal, således at k 1 + k 2 + ... + k m = n .

Pontriaguine-tal er defineret af: $P _ {{k_ {1}, k_ {2}, \ prikker, k_ {m}}}$

P _ {{k_ {1}, k_ {2}, \ prikker, k_ {m}}} = p _ {{k_ {1}}} \ smile p _ {{k_ {2}}} \ smile \ cdots \ smile p_ {{k_ {m}}} ([M])

hvor p k er k th Pontryagin klasse og [ M ] er den grundlæggende klasse (en) af M .

Ejendomme

Referencer

( fr ) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Pontyagin-klasse " ( se listen over forfattere ) .

(en) John Milnor og James Stasheff , Karakteristiske klasser , Princeton University Press , koll. "Annaler for matematikstudier" ( nr . 76)1974( læs online )
(en) Allen Hatcher , Vector Bundles and K-Theory , 2.1,2009, 111 s. ( læs online ) , s. 94-97