Fresnel-koefficient

De Fresnel koefficienter , der blev indført ved Augustin Jean Fresnel (1788-1827), intervenere i beskrivelsen af fænomenet refleksion - brydning af elektromagnetiske bølger ved grænsefladen mellem to medier, hvis brydningsindeks er anderledes. De udtrykker forbindelserne mellem amplituderne af de reflekterede og transmitterede bølger med hensyn til amplituden af den indfaldende bølge.

Generel

Amplituden reflektionskoefficient r og amplitude transmissionskoefficient t for det elektriske felt er defineret af:

r = \ frac {E_ {r}} {E_ {i}}

t = \ frac {E_ {t}} {E_ {i}}

hvor E i , E r og E t er amplituderne forbundet henholdsvis med hændelsen, reflekteres og sendes (brydes) elektrisk felt.

Generelt afhænger disse koefficienter af:

de optiske indeks for henholdsvis input- og outputmediet n 1 og n 2
af frekvensen f af indfaldsbølgen
indfaldsvinkler θ i = θ 1 og brydningstransmission θ t = θ 2 ,
af bølgernes polarisering . Polarisering af bølgen, som muligvis kan modificeres under passage af grænsefladen.

De opnås ved at overveje kontinuitetsforholdene ved grænsefladen mellem de tangentielle komponenter i de elektriske og magnetiske felter, der er forbundet med bølgen.

Beregninger af koefficienterne i det generelle tilfælde

Overvej 2 medier med forskellige brydningsindeks adskilt af en plan grænseflade.

Arbejdshypoteser

Den indfaldende bølge er en plan bølge, af bølgevektor og af pulsation . ${\ vec {k}}$ $\ omega$

De her beregnede Fresnel-koefficienter er kun gyldige under følgende antagelser i medierne:

De er ikke- magnetiske .
De er lineære , homogene og isotrope .

Der tilføjes også en beregningshypotese, nemlig den harmoniske hypotese, der består i at overveje de elektromagnetiske størrelser ved en bestemt frekvens og at bemærke dem som de reelle dele af komplekse størrelser. Dette forenkler beregningerne og gør det også muligt på en æstetisk måde at udlede af ligningerne elektromagnetiske fænomener såsom absorption, faseforskydning af bølgen, undvigende bølger ...

Fresnel-koefficienterne afhænger af polariseringen af det elektromagnetiske felt, vi betragter generelt to tilfælde:

Elektrisk tværgående (TE): det indfaldende elektriske felt er polariseret vinkelret på indfaldsplanet, magnetfeltet er indeholdt i indfaldsplanet.
Magnetisk tværgående (TM): det indfaldende magnetfelt er polariseret vinkelret på indfaldsplanet, det elektriske felt er indeholdt i indfaldsplanet.

Tilfælde af elektriske tværgående bølger

Overvej en elektromagnetisk planbølge:

{\ displaystyle {\ vec {E}} = E \, \ exp {i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t)} \, {\ vec {e}} _ {y}}

hvor

E

repræsenterer den komplekse amplitude

{\ displaystyle {\ vec {H}} = {\ frac {1} {\ mu _ {0} \, \ omega}} ({\ vec {k}} \ wedge {\ vec {E}})}

I det tilfælde hvor det indfaldende elektriske felt er polariseret vinkelret på indfaldsplanet , er de tangentielle komponenter i det elektriske felt og magnetfeltet kontinuerlige:

{\ displaystyle {\ begin {cases} E_ {i} + E_ {r} = E_ {t} & \ Rightarrow 1 + r _ {\ mathrm {TE}} = t _ {\ mathrm {TE}} \\ - H_ {i} \ cos \ theta _ {1} + H_ {r} \ cos \ theta _ {1} = - H_ {t} \ cos \ theta _ {2} & \ Rightarrow k_ {iz} (1-r _ {\ mathrm {TE}}) = k_ {tz} t _ {\ mathrm {TE}} \ end {cases}}}

Transmissions- og reflektionskoefficienterne skrives derefter:

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {k_ {iz} -k_ {tz}} {k_ {iz} + k_ {tz}}}}

{\ displaystyle t _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {2k_ {iz}} {k_ {iz} + k_ {tz}}}}

Ved at indføre for hvert medium dispersionsforholdet opnår vi Fresnel-koefficienterne som en funktion af karakteristika for forekomsten (n 1 , θ 1 ) og af brydningen (n 2 , θ 2 ): $k = \ frac {\ omega} {c} n$

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} -n_ {2} \ cos \ theta _ {2}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} + n_ {2} \ cos \ theta _ {2}}}}

{\ displaystyle t _ {\ mathrm {TE}} = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {1} + n_ {2} \ cos \ theta _ {2}}}}

Diskussion: brydningsindekserne er komplekse, polariseringen af den transmitterede og reflekterede bølge kan ændres sammenlignet med den indfaldende bølge. Selv i det tilfælde, hvor disse indekser er reelle, er det muligt, at reflektionskoefficienten bliver negativ, den reflekterede bølge er derefter ude af fase 180 ° sammenlignet med den indfaldende bølge (se figur). $n_ {2}> n_ {1}$

Den eneste måde at annullere koefficienten refleksion er, under hensyntagen til de Snell-Descartes love , at have . Derfor gennemgår en elektrisk tværgående polariseret bølge en refleksion, så snart den passerer gennem et medium med forskellig optisk indeks, hvilket ikke er tilfældet med en tværgående magnetisk bølge (eksistensen af en Brewster-vinkel ). $n_1 = n_2$

Tilfælde af magnetiske tværgående bølger

{\ displaystyle {\ begin {cases} H_ {i} -H_ {r} = H_ {t} & \ Rightarrow k_ {1} (1-r _ {\ mathrm {TM}}) = k_ {2} \, t_ {\ mathrm {TM}} \\ E_ {i} \ cos \ theta _ {1} + E_ {r} \ cos \ theta _ {1} = E_ {t} \ cos \ theta _ {2} & \ Rightarrow (1 + r _ {\ mathrm {TM}}) \ cos \ theta _ {1} = t _ {\ mathrm {TM}} \ cos \ theta _ {2} \ end {cases}}}

hvorfra :

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {k_ {2} \ cos \ theta _ {1} -k_ {1} \ cos \ theta _ {2}} {k_ {1} \ cos \ theta _ {2} + k_ {2} \ cos \ theta _ {1}}} \ \}

og .

{\ displaystyle \ \ t _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {2k_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {k_ {1} \ cos \ theta _ {2} + k_ {2} \ cos \ theta _ {1}}}}

Ved at indføre for hvert medium dispersionsforholdet opnår vi Fresnel-koefficienterne som en funktion af karakteristika for forekomsten ( ) og af brydningen ( ): $k = \ frac {\ omega} {c} n$ ${\ displaystyle n_ {1}, \ theta _ {1}}$ ${\ displaystyle n_ {2}, \ theta _ {2}}$

{\ displaystyle r _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {n_ {2} \ cos \ theta _ {1} -n_ {1} \ cos \ theta _ {2}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {2} + n_ {2} \ cos \ theta _ {1}}} \ \}

og .

{\ displaystyle \ \ t _ {\ mathrm {TM}} = {\ frac {2n_ {1} \ cos \ theta _ {1}} {n_ {1} \ cos \ theta _ {2} + n_ {2} \ cos \ theta _ {1}}}}

Bemærk: afhængigt af arbejdet adskiller Fresnel-koefficienterne sig. Dette kommer fra de vilkårlige retningslinjer, der blev foretaget i starten. For eksempel orientering fremad i figur H r udgør erstatte til beregning af r , E r af -E r som vil ændre fortegnet for koefficienten. Ved beregningen af interferensfiltre tages der hensyn til Fresnel-koefficienterne til beregning af faseforskydningen i refleksion mellem lagene i filteret.

Diskussion: TM-sagen er bemærkelsesværdig af to grunde:

reflektionskoefficienten kan blive nul for en indfaldsvinkel, kaldet Brewster-vinklen ;
i visse situationer (metal-luft-interface) kan nævneren for reflektionskoefficienten TM blive nul (koefficienten bliver uendelig). Vi opnår derefter en reflekteret bølge og en transmitteret bølge uden indfaldende bølge: undersøgelsen af nævneren specificerer derefter betingelserne for realisering, komponenterne i bølgevektorerne er så imaginære. Processen bruger derfor evanescerende bølger og forårsager overfladeplasmoner .

Udvidelse til tilfældet med flere grænseflader

Globale Fresnel-koefficienter kan defineres for et system, der består af flere lag medie med forskellige indekser.

I de følgende beregninger overvejes de dielektriske permittiviteter og ikke brydningsindekserne for at forenkle notationerne. $\ left (\ varepsilon = n ^ {2} \ right)$

Tilfælde af to grænseflader

Overveje 3 medier , og forskellige på hinanden følgende dielektriske permittiviteter, adskilt af 2 plane grænseflader. $Min}$ $M_ {b}$ $M_ {c}$

Lad være tykkelsen på ( og er semi-uendelig). $d$ $M_ {b}$ $Min}$ $M_ {c}$
Lad og henholdsvis være vinklerne for indfald og brydning ved grænsefladen mellem og (med i, j = a, b eller b, c). $\ theta_ {i}$ $\ theta_ {j}$ $Midt}$ $M_ {j}$
Lad komponenten langs z af bølgevektoren ind $k_ {bz} = \ sqrt {k ^ {2} _ {b} - k ^ {2} _ {bx}} = \ frac {\ omega} {c} \ sqrt {\ varepsilon_ {b} - \ varepsilon_ { b} \ sin ^ {2} \ theta_ {b}}$ $M_ {b}$
Eller reflektionskoefficienten mellem og som defineret tidligere ( afhænger af TM- eller TE-polarisering såvel som af vinklerne og med i, j = a, b eller b, c). $r_ {ij}$ $Midt}$ $M_ {j}$ $r_ {ij}$ $\ theta_ {i}$ $\ theta_ {j}$

Den samlede refleksion og transmissionskoefficienter skrives derefter:

r_ {g} = \ frac {r_ {ab} + r_ {bc} e ^ {2 i k_ {bz} d}} {1 + r_ {ab} r_ {bc} e ^ {2 i k_ {bz} d }}

{\ displaystyle t_ {g} = {\ frac {t_ {ab} t_ {bc} e ^ {ik_ {bz} d}} {1 + r_ {ab} r_ {bc} e ^ {2ik_ {bz} d} }}}

Disse forhold beskriver både opførelsen af den enkle parallelle ansigtsplade og de mere spektakulære tilfælde af antireflekterende lag eller dannelsen af overfladeplasmoner : for at gøre dette spiller vi på indekset og tykkelsen af det mellemliggende medium som en funktion af indekser. ekstreme miljøer.

Tilfælde af n grænseflader

På basis af de foregående resultater kan man ved induktion definere de globale Fresnel-koefficienter for n-grænseflader.

Overvej n + 1 medier med forskellige på hinanden følgende dielektriske permittiviteter, adskilt af n-plangrænseflader.

Lad være det femte midtpunkt. 1 ≤ p ≤ n + 1. $M_ {p}$
Lad være tykkelsen på (2 ≤ p ≤ n fordi og er semi-uendelig). $d_ {p}$ $M_ {p}$ $M_ {1}$ $M_ {n + 1}$
Lad og henholdsvis være vinklerne for indfald og brydning ved grænsefladen mellem og . $\ theta_ {p}$ $\ theta_ {p + 1}$ $M_ {p}$ $M_ {p + 1}$
Lad være den følgende komponent z af bølgevektoren i det femte medium. $k_ {pz} = \ sqrt {k ^ {2} _ {p} - k ^ {2} _ {px}} = \ frac {\ omega} {c} \ sqrt {\ varepsilon_ {p} - \ varepsilon_ { p} \ sin ^ {2} \ theta_ {p}}$
Eller reflektionskoefficienten mellem og som defineret tidligere ( afhænger af TM- eller TE-polarisering såvel som af vinklerne og ). $r_ {p, p + 1}$ $M_ {p}$ $M_ {p + 1}$ $r_ {p, p + 1}$ $\ theta_ {p}$ $\ theta_ {p + 1}$

Vi starter fra , så for p = n op til 2 bruger vi gentagelsesrelationen: $U_ {n} = r_ {n, n + 1}$

U_ {p - 1} = \ frac {r_ {p - 1, p} + U_ {p} e ^ {2 i k_ {pz} d_ {p}}} {1 + r_ {p - 1, p} U_ {p} e ^ {2 i k_ {pz} d_ {p}}}

Den globale refleksionskoefficient skrives derefter . $r_ {g} = U_ {1}$

Forskel mellem dielektriske og metalliske medier

Fresnel-koefficienterne skal være forskellige for dielektrikum og metaller, da tilstedeværelsen eller fraværet af frie strømme og ladninger i medierne ikke indebærer de samme passage-forhold, og derfor de samme Fresnel-koefficienter. I tilfælde af mange såkaldte "ohmske" metaller (beskrevet af en ledningsevne σ) er det imidlertid muligt at erstatte et homogent ohmsk metal (ε, μ 0 , σ) med et homogent dielektrikum med permittivitet . Ved denne ækvivalente metal-dielektriske beskrivelse i harmonisk regime kan vi overveje de samme udtryk for Fresnel-koefficienterne, uanset om det er et dielektrisk eller et ohmsk metal. I dette tilfælde er det udtrykket for permittiviteten, der ændres. $\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} = \ varepsilon - \ frac {i \ sigma} {\ omega}$

Diverse bemærkninger

Det bemærkes, at transmissionskoefficienten fra medium 1 til medium 2 er forskellig fra transmissionskoefficienten fra medium 2 til medium 1 (ved normal forekomst er deres forhold lig med forholdet mellem indekserne). Det samme gælder refleksionskoefficienten (denne gang er det tegnet, der ændrer sig).
Generelt er Fresnel-koefficienterne, defineret på grænsefladen mellem to medier, involveret i evalueringen af den optiske opførsel af optiske flerlag , fra den enkleste af dem, pladen med en parallel flade, til den mest komplekse: antireflekterende lag , interferensfiltre eller fotoniske krystaller. Refleksions- og transmissionskoefficienterne for disse sæt involverer ud over de specifikke koefficienter for hver grænseflade den optiske sti i hvert af lagene.
Til applikationer med lav præcision, der involverer upolariseret lys, såsom computergrafik, snarere end nøjagtigt at beregne den effektive reflektans for hver vinkel, bruges Schlicks tilnærmelse ofte.

Noter og referencer

Max Born & Emil Wolf, Principles of Optics , 4th.ed., Pergamon Press, 1970, s. 62 [ læs online ]

Se også

Relaterede artikler

eksterne links

Komplet simulering af Fresnel-relationer og de vigtigste optiske instrumenter. Paris XI University

Referencebøger

José-Philippe Pérez, Optik: Fundamenter og applikationer [ detaljer af udgaver ]
R. Petit, elektromagnetiske bølger i radioelektricitet og optik , Masson,1993( ISBN 2-225-81571-2 )
John David Jackson ( overs. Fra engelsk), klassisk elektrodynamik [" Klassisk elektrodynamik "] [ udgivelsesoplysninger ]
(en) MH Choudhury, elektromagnetisme , John Wiley & Sons, Inc.,1989( ISBN 0-470-21479-1 )
(en) DR Frankl, elektromagnetisk teori , Prentice-Hall, Inc.,1986( ISBN 0-13-249095-1 )
(da) RD Stuart, elektromagnetisk feltteori , Addison-Wesley forlag, Inc.,1965
(en) A. Ishimaru, udbredelse af elektromagnetisk bølge, stråling og spredning , Englewood-klipper (New Jersey), Prentice-Hall, Inc.,1991, 637 s. ( ISBN 0-13-249053-6 )