Komprimeret af Alexandrov

I matematik og mere præcist i generel topologi er den komprimerede af Alexandrov (undertiden skrevet komprimeret af Alexandroff ) et objekt introduceret af matematikeren Pavel Aleksandrov . Dens konstruktion, kaldet komprimering Alexandrov , generaliserer Riemann-sfæren til lokalt kompakte rum overhovedet, som den tilføjer et " uendeligt punkt ".

Definition

Lad være et lokalt kompakt topologisk rum . Vi kan ved at tilføje et punkt til opnå et kompakt rum . Til dette overvejer vi hvor , og vi definerer en topologi som følger. $x$ $x$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup \ {\ omega \}}$ $\ omega \ ikke \ i X$

Åbningssættet består af: ${\ tilde X}$

den begyndende af ; $x$
delmængder af formularen , hvor er komplementet i en kompakt af . ${\ displaystyle \ {\ omega \} \ cup K ^ {c}}$ ${\ displaystyle K ^ {c}}$ $x$ $K$ $x$

Det kontrolleres, at vi således definerer en topologi på , og at den indledende topologi på er identisk med topologien induceret af denne topologi den . ${\ tilde X}$ $x$ $x$ ${\ tilde X}$

Endelig er det verificeret, at udstyret med denne topologi er et kompakt rum. ${\ tilde X}$

Rummet kaldes derefter Alexandrov komprimeret af lokalt kompakt rum ; kaldes punkt uendeligt af og er også noteret . ${\ tilde X}$ $x$ $\ omega$ ${\ tilde X}$ $\ infty$

Denne opfattelse er kun af interesse, hvis startområdet ikke er kompakt. Faktisk tilføjer Alexandrov-kompakteringsprocessen til et kompakt rum kun et isoleret punkt (for det er da et åbent af ). $\ {\ omega \}$ ${\ tilde X}$

Hvis og er to lokalt kompakte rum, strækker en kontinuerlig applikation sig til en kontinuerlig applikation mellem de komprimerede i Alexandrov, hvis og kun hvis den er ren . $x$ $Y$ $f: X \ til Y$

Bemærk, at denne konstruktion også gælder, hvis det kun antages at være næsten kompakt ; vi får derefter et kvasi-kompakt rum, og vi har følgende egenskab: er separat (derfor kompakt) hvis og kun hvis det er lokalt kompakt. $x$ ${\ tilde X}$ ${\ tilde X}$ $x$

Enestående

Det vises let, at startende fra et lokalt kompakt topologisk rum og fra et givet punkt , Alexandrov komprimeret konstrueret som ovenfor på er den eneste mulige topologi på sådan, at: $x$ $\ omega \ ikke \ i X$ ${\ displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup \ {\ omega \}}$ ${\ tilde X}$

${\ tilde X}$ er kompakt;
topologien induceret den er identisk med starttopologien. $x$

Eksempler

Alexandrov komprimeret af is n er homomorf til n -sfæren gennem især den stereografiske projektion fra en af polerne i n- sfæren, projektion afsluttet med . Således Alexandrov komprimeret af of er homomorf til en cirkel, den af ℝ 2 (eller ℂ) til en kugle, almindeligvis kaldet Riemann kugle . Punktet, der føjes til rummet, kan forestilles som et punkt "ved uendelig": ved uendelig "lukker" den virkelige linje i en cirkel. $P$ $P \ mapsto \ omega$
Enhver ordinal α = [0, α [kan udstyres med ordens topologi . Hvis α er en grænseordinal , komprimeres Alexandrov af [0, α [er α + 1 = [0, α] (hvis tværtimod α har en forgænger β, så er [0, α [ den kompakte [0, β + 1 [= [0, β]).
Et rumfort (en) er Alexandroff-udvidelsen af en diskret uendelig plads .

Referencer

(i) John L. Kelley , General Topology , Van Nostrand,1955( læs online ) , s. 150.

Eksternt link

Alexandrov komprimeret på webstedet les-mathematiques.net