Bestil topologi
I matematik er ordens topologi en naturlig topologi defineret på ethvert ordnet sæt ( E , ≤), og som afhænger af forholdet mellem orden ≤.
Når vi definerer den sædvanlige topologi af talelinjen ℝ , er to ækvivalente tilgange mulige. Vi kan stole på rækkefølge i ℝ eller på den absolutte værdi af afstanden mellem to tal. Båndene nedenfor giver dig mulighed for at skifte fra den ene til den anden:
[x-r,x+r]={t∈R∣x-r≤t≤x+r}={t∈R∣|x-t|≤r}.{\ displaystyle [xr, x + r] = \ {t \ in \ mathbb {R} \ mid xr \ leq t \ leq x + r \} = \ {t \ in \ mathbb {R} \ mid | xt | \ leq r \}.}
Den absolutte værdi generaliserer i begrebet afstand, hvilket inducerer begrebet topologi i et metrisk rum . Vi er interesseret her i den anden tilgang.
Bestil topologi
Lad ( E , ≤) være et ordnet sæt.
Lad os kalde et åbent interval (i betydningen rækkefølge) af E et interval af formen] x, y [for et hvilket som helst to element x og y for E eller for formen] x , + ∞ [eller] –∞ , x [for ethvert element x af E eller igen] –∞ , + ∞ [, hvor disse fire notationer angiver pr. definition:
]x,y[={t∈E∣x<t<y},]x,+∞[={t∈E∣x<t},]-∞,x[={t∈E∣t<x},]-∞,+∞[=E{\ displaystyle] x, y [= \ {t \ i E \ mid x <t <y \}, \ quad] x, + \ infty [= \ {t \ i E \ mid x <t \}, \ quad] - \ infty, x [= \ {t \ i E \ mid t <x \}, \ quad] - \ infty, + \ infty [= E}
( + ∞ og –∞ er derfor en del af notationerne og betegner ikke noget element i E ).
Man kalder derefter topologi af rækkefølgen topologien genereret af de åbne intervaller, det vil sige den mindste fine topologi, som de åbne intervaller er åbne for . Det indrømmer åbne intervaller som en forudsætning og jævn på grund af det faktum, at] x, y [=] x , + ∞ [∩] –∞ , y [, åbne intervaller, der tillader en "uendelig grænse".
Hvis rækkefølgen på E er delvis , kan denne topologi bruges til at konstruere modeksempler.
Når ( E , ≤) er fuldstændigt ordnet , er skæringspunktet mellem to åbne intervaller altid et åbent interval. Derfor danner de åbne intervaller et grundlag for topologien ; kort sagt: en del af E er åben, hvis og kun hvis det er en forening af åbne intervaller. Denne topologi er derefter separat og endda helt normal .
Lige topologi
Lad ( E , ≤) være et ordnet sæt.
Lad os starte med at bemærke det [x,+∞[∩[y,+∞[=∪x≤t og y≤t[t,+∞[{\ displaystyle [x, + \ infty [\ cap [y, + \ infty [= \ cup _ {x \ leq t {\ text {et}} y \ leq t} [t, + \ infty [}
Intervallerne for formularen [ x , + ∞ [danner derfor et grundlag for en topologi på E , undertiden kaldet højreordens topologi eller højre topologi . Dens åbninger er slutningen af ordren.
Dette er det særlige tilfælde med den Alexandroff topologi forbundet med en forudbestilling , når dette forudbestilling er en ordre, med andre ord, når de tilknyttede topologi tilfredsstiller ejendom T 0 (den svageste af de separationsegenskaber ).
Streng højre topologi
Når ( E , ≤) et totalt ordnet sæt, kan vi definere en variant af ovenstående topologi.
Rækkefølgen er total, intervallerne for formen] x , + ∞ [(som vi skal tilføje E, hvis E indrømmer et mindre element) danner et grundlag for en topologi.
En funktion f med værdier i ℝ er lavere semikontinu, hvis og kun hvis, når ℝ har denne topologi, f er kontinuerlig.
Eksempler
- Topologien i den sædvanlige rækkefølge på ℝ er den sædvanlige topologi.
- Topologien for rækkefølgen på ℝ = {–∞} ∪ℝ∪ {+ ∞} ( isomorf til [–1, 1] forsynet med den sædvanlige rækkefølge) er topologien for den afsluttede rigtige linje ( homeomorf til [–1, 1 ] med den sædvanlige topologi).
- Topologien i den sædvanlige rækkefølge på ℕ er den diskrete topologi (det er også den sædvanlige topologi).
- Topologien i rækkefølgen på ℕ∪ {+ ∞} ⊂ ℝ er Alexandrov komprimeret [0, ω] af [0, ω [ = ℕ forsynet med den diskrete topologi.
- For den delvise delingsrækkefølge på ℕ * er topologien i ordenen den diskrete topologi.
Ejendomme
Lad ( E , ≤) være et ordnet sæt udstyret med ordens topologi.
- Hvis F er en delmængde af det bestilte sæt E , giver den rækkefølge, der induceres på F, en topologi. Denne inducerede ordentopologi er mindre fin end den inducerede topologi (af ordentopologien på E ), undertiden strengt: i delmængden af reelle tal Y = {–1} ∪ {1 / n | n ∈ℕ *}, singleton {–1} er åben for den inducerede topologi, men ikke for den inducerede ordentopologi, da sekvensen på 1 / n konvergerer til –1 for sidstnævnte .
Når ordren på E er total:
I særdeleshed :
Noter og referencer
-
Laurent Schwartz , analyse I: sætteori og topologi , 1991, Hermann , s. 140-141 .
-
(in) Niel Shell , topologiske felter og nærværdiansættelser , CRC Press ,1990, 248 s. ( ISBN 978-0-8247-8412-6 , læs online ) , s. 179-180.
-
Se artiklen Monotont normalt rum .
-
N. Bourbaki , Elements of mathematics, book III: General topology [ detail of editions ], kap. Jeg, s. 89, ex. 2.
-
Claude Berge , Topologiske rum: Multivokale funktioner , bind. 3, Dunod ,1966, 2 nd ed. , s. 80.
-
I dette eksempel er symbolerne –∞ og + ∞ traditionelt reserveret til at betegne det mindste og det største element i ℝ , vi skal ikke længere betegne] x , + ∞ [og] –∞ , x [de åbne intervaller, der udgør forbase, men] x , + ∞ ] og [ –∞ , x [.
-
(i) Lynn Arthur Steen og J. Arthur Seebach, Jr. , modtilfælde i topologi , Dover ,1995, 244 s. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , læs online ) , s. 67
-
Se artiklen Lineært kontinuum (en)
-
Ethvert totalt ordnet felt har nul karakteristik (fordi 0 <1 <1 + 1 <1 + 1 + 1 <...) derfor tæt (fordi x <(x + y) / 2 <y hvis x <y).
Relaterede artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">