Neumann-grænsetilstand

I matematik pålægges en Neumann- grænsetilstand (opkaldt efter Carl Neumann ) en differentialligning eller delvis differentialligning , når de specificerer værdierne for de derivater , som løsningen skal verificere på grænserne / grænserne for domænet .

For en differentialligning, for eksempel:

{\ displaystyle y '' + y = 0 ~}

Neumanns randbetingelse på intervallet udtrykkes af: $[a, \, b]$

{\ displaystyle y '(a) = \ alpha \ {\ text {and}} \ y' (b) = \ beta}

hvor og er to givne tal. $\ alpha$ $\ beta$

For en delvis differentialligning, for eksempel:

{\ displaystyle \ Delta y + y = 0 ~}

hvor er Laplacian (differentiel operator), Neumanns randbetingelse på et domæne udtrykkes af: ${\ displaystyle \ Delta ~}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset R ^ {n}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial y} {\ partial {\ overrightarrow {n}}}} (x) = f (x) \ quad \ forall x \ in \ partial \ Omega}

hvor er en kendt skalarfunktion defineret på grænsen og er den normale vektor ved grænsen . Det normale afledte i venstre side af ligningen er defineret af: $f$ $\ delvis \ Omega$ $\ overrightarrow {n}$ $\ delvis \ Omega$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial y} {\ partial {\ overrightarrow {n}}}} (x) = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ y (x) \ cdot {\ overrightarrow {n }} (x)}

Der er andre mulige forhold. For eksempel Dirichlet-grænsetilstanden eller Robin-grænsetilstanden , som er en kombination af Dirichlet- og Neumann-forholdene.