Fermat-catalansk formodning
I nummer teori , at Fermat - catalanske formodninger kombinerer ideer af Fermats sidste sætning og catalanske formodninger , deraf navnet. Formodningen indikerer, at ligningen
påm+bikke=vs.k(1){\ displaystyle a ^ {m} + b ^ {n} = c ^ {k} \ quad \ quad \ quad \ quad (1)}et kun et begrænset antal opløsninger ( a , b , c , m , n , k ) med tydelige tredobbelt værdier ( a m , b n , c k ); her en , b , c er positive hele tal og m , n , k er positive heltal opfylder
1m+1ikke+1k<1(2){\ displaystyle {\ frac {1} {m}} + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {k}} <1 \ quad \ quad (2)}Denne begrænsning af eksponenterne har den virkning, at den forhindrer en kendt uendelig opløsning af (1), hvor to af eksponenterne er 2 (såsom Pythagoras-tripletter ).
I 2015 kendes følgende ti løsninger til (1):
1m+23=32{\ displaystyle 1 ^ {m} + 2 ^ {3} = 3 ^ {2} \;}
25+72=34{\ displaystyle 2 ^ {5} + 7 ^ {2} = 3 ^ {4} \;}
132+73=29{\ displaystyle 13 ^ {2} + 7 ^ {3} = 2 ^ {9} \;}
27+173=712{\ displaystyle 2 ^ {7} + 17 ^ {3} = 71 ^ {2} \;}
35+114=1222{\ displaystyle 3 ^ {5} + 11 ^ {4} = 122 ^ {2} \;}
338+15490342=156133{\ displaystyle 33 ^ {8} + 1549034 ^ {2} = 15613 ^ {3} \;}
14143+22134592=657{\ displaystyle 1414 ^ {3} + 2213459 ^ {2} = 65 ^ {7} \;}
92623+153122832=1137{\ displaystyle 9262 ^ {3} + 15312283 ^ {2} = 113 ^ {7} \;}
177+762713=210639282{\ displaystyle 17 ^ {7} + 76271 ^ {3} = 21063928 ^ {2} \;}
438+962223=300429072{\ displaystyle 43 ^ {8} + 96222 ^ {3} = 30042907 ^ {2} \;}
Den første (1 m +2 3 = 3 2 ) er den eneste løsning, hvor en af a , b eller c er lig med 1, ifølge Catalans formodning , bevist i 2002 af Preda Mihăilescu . Mens denne sag fører til en uendelig række af løsninger på (1) (da vi kan vælge et hvilket som helst m for m > 6), giver disse løsninger kun en enkelt triplet af værdier ( a m , b n , c k ).
Vi ved fra Darmon-Granville-sætningen, der bruger Faltings 'sætning , at der for ethvert valg af positive faste heltal m , n og k, der tilfredsstiller (2), kun findes et endeligt antal tripletter ( a , b, c ) løsninger af (1); men den Fermat-catalanske formodning er en meget stærkere påstand, da den tillader en uendelig række af eksponenter m , n og k .
Den abc formodning involverer den Fermat-catalanske formodning.
Den formodninger Beal er sand, hvis og kun hvis alle de Fermat-catalanske løsninger bruger engang 2 som udstiller.
Se også
Referencer
-
(i) Timothy Gowers , June Barrow-Grøn og Imre Leader , The Princeton Companion til matematik , Princeton University Press,2008( ISBN 978-1-4008-3039-8 og 1-4008-3039-7 , OCLC 659590835 , læs online )
-
H. Darmon og A. Granville , “ På ligningerne z m = F ( x , y ) og Ax p + By q = Cz r ”, Bulletin of the London Mathematical Society , bind. 27,1995, s. 513–43 ( DOI 10.1112 / blms / 27.6.513 )
-
Noam D. Elkies , “ The ABC's of Number Theory, ” The Harvard College Mathematics Review , Vol. 1, n o 1,2007( læs online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">