Normal konvergens

Denne artikel er et udkast til analyse .

Du kan dele din viden ved at forbedre den ( hvordan? ) I henhold til anbefalingerne fra de tilsvarende projekter .

I analyse er normal konvergens en af ​​konvergensmetoderne for en række funktioner . Hvis er en serie af funktioner med reelle eller komplekse værdier , der er defineret på det samme sæt X , den række af generelt normalt konvergere på X , hvis der er en serie af reelle værdier u n således at: (fikke){\ displaystyle (f_ {n})}fikke{\ displaystyle f_ {n}}

1. for alle n , er afgrænset af u n i X  ;|fikke|{\ displaystyle | f_ {n} |}
2. det generelle udtryk serie u n konvergerer.

Den normale konvergens af en sådan serie indebærer dens ensartede konvergens . Derfor er alle resultater, der vedrører ensartet konvergens, også gyldige for normal konvergens. Især hvis sættet X har en topologi  :

Summen af ​​en række kontinuerlige funktioner, der normalt konvergerer, er en kontinuerlig funktion.

Den normale konvergens af en serie indebærer også dens absolutte konvergens på alle punkter.

A fortiori indebærer den normale konvergens af en serie dens enkle konvergens , med andre ord konvergensen af ​​serien på ethvert tidspunkt.

De gensidige implikationer er falske.

Historie

Denne forestilling blev introduceret af Karl Weierstrass og døbt "normal konvergens" af René Baire .

Standardiserede vektorrum

De funktioner, afgrænset på X med reelle eller komplekse værdier, udstyret med den uendelige normen , danner et Banach rum , det vil sige en komplet normeret vektorrum . Den normale konvergens af en række af sådanne funktioner fortolkes som den absolutte konvergens i dette rum  : Serien af ​​det generelle udtryk konvergerer normalt på X, hvis fikke{\ displaystyle f_ {n}}

∑ikke‖fikke‖∞<∞{\ displaystyle \ sum _ {n} {\ | f_ {n} \ |} _ {\ infty} <\ infty}.

Eksempler

• Serien med generelle sigt konvergerer normalt på alle kompakt af R \ Z .fikke(x)=2xx2-ikke2{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {2x} {x ^ {2} -n ^ {2}}}}

πkoste⁡(πx)=1x+∑ikke∈IKKE∗2xx2-ikke2{\ displaystyle \ pi \ cot (\ pi x) = {\ frac {1} {x}} + \ sum _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ frac {2x} {x ^ {2} -n ^ {2}}}}.

• Lad være produktet af den indikator funktion af intervallet . Serien er normalt ikke konvergent ( ), men den er ensartet konvergent ( ).gikke{\ displaystyle g_ {n}}1/ikke{\ displaystyle 1 / n}[ikke,ikke+1[{\ displaystyle \ left [n, n + 1 \ right [}∑ikke∈IKKE∗gikke{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} g_ {n}}‖gikke‖∞=1/ikke{\ displaystyle {\ | g_ {n} \ |} _ {\ infty} = 1 / n}‖∑ikke≥IKKEgikke‖∞=1/IKKE{\ displaystyle \ | \ sum _ {n \ geq N} g_ {n} {\ |} _ {\ infty} = 1 / N}
• At bringe det normale konvergensargument op er en elegant måde at bevise kontaginen i Takagi-kurven .

Ejendomme

• Enhver lineær kombination af normalt konvergerende serier er normalt konvergent.
• Ethvert produkt af normalt konvergerende serier er normalt konvergent.

Noter og referencer

1. Jacques Dixmier , generel topologi , Paris, PUF ,nitten og firs, 164  s. ( ISBN  2-13-036647-3 , OCLC  417477300 ) , s.  81, Sætning 6.1.10.
2. René Baire, lektioner om generelle analyseteorier , t.  2, Paris, Gauthier-Villars ,1908( læs online ) , s. vii.
3. (i) Reinhold Remmert , Theory of komplekse funktioner , Springer ,1991, 453  s. ( ISBN  978-0-387-97195-7 , læs online ) , s.  327.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">