Kontinuitet (matematik)

I matematik er kontinuitet en topologisk egenskab ved en funktion . Som en første tilnærmelse, en funktion f er kontinuert hvis, til infinitesimale variationer af den variable x , der svarer infinitesimale variationer af værdien f ( x ) .

Kontinuitet er forbundet med forestillingen om et kontinuum, hvis oprindelse er geometrisk . I et geometrisk kontinuum, såsom plan eller rum , kan et punkt bevæge sig kontinuerligt for at tilnærme sig med vilkårlig præcision til et andet punkt. Begrebet kontinuitet er strengt defineret i matematik.

Det første eksempel på kontinuerlige funktioner vedrører virkelige funktioner defineret i et interval, og hvis graf kan tegnes uden at løfte blyanten . Denne første tilgang giver et indtryk af begrebet (funktionen springer ikke), men er ikke tilstrækkelig til at definere det, desto mere som nogle grafer af alligevel kontinuerlige funktioner ikke kan tegnes på denne måde, som f.eks. Kurver med fraktale egenskaber som Cantor-trappen .

Historisk defineret for funktioner i den reelle variabel, er begrebet kontinuitet generaliseret til funktioner mellem metriske rum eller mellem topologiske rum , i en lokal form og i en global form.

Undersøgelsen af ​​kontinuerlige funktioner viser sig at være frugtbar for de egenskaber, de besidder ( konvergensegenskaber i den forstand, at "  lim ( f ( x )) = f (lim ( x ))  ", sætning af mellemværdier , sætning af grænser , integrerbarhed ...).

Definition for virkelige funktioner

Definition  -  Lad jeg være et reelt interval , en funktion defineret på I med reelle værdier og . f:jeg→R{\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}på∈jeg{\ displaystyle a \ i I}

Funktionen f siges at være kontinuerlig i en hvis:

∀ε>0∃η>0∀x∈jeg([|x-på|<η⇒|f(x)-f(på)|<ε]).{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ eksisterer \ eta> 0 \ quad \ forall x \ i I \ quad \ left (\ left [| xa | <\ eta \ Rightarrow | f (x) -f (a ) | <\ varepsilon \ right] \ right).}

Således er f kontinuerlig i en hvis og kun hvis grænsen for f i a eksisterer (den er da nødvendigvis lig med f ( a ) ) . Ligeledes opnås i den formelle definition af grænsen en ækvivalent definition ved at erstatte med eller med . |x-på|<η{\ displaystyle | xa | <\ eta}|x-på|≤η{\ displaystyle | xa | \ leq \ eta}|f(x)-f(på)|<ε{\ displaystyle | f (x) -f (a) | <\ varepsilon}|f(x)-f(på)|≤ε{\ displaystyle | f (x) -f (a) | \ leq \ varepsilon}

Dette betyder, at ved at fastsætte en tærskel ε, kan vi finde et interval omkring en sådan, at f ( x ) er i en afstand mindre end ε fra f ( a ) .

• Hvis kontinuiteten kun er gyldig til højre (for x> a ), siger vi, at f er kontinuerlig til højre ved a . Ligeledes til venstre for en .
  At sige, at f er kontinuerlig i a, er at sige, at det er kontinuerligt til højre og til venstre i a .
• Funktionen f er kontinuerlig (på I ), hvis den er kontinuerlig på hvert punkt a af jeg .
  En funktion, der udviser "spring" er diskontinuerlig. Begrebet spring er illustreret i den modsatte figur, det svarer til eksistensen af ​​en grænse til højre og en grænse til venstre, som ikke begge har den samme værdi som f ( a ) .

Kommentar

En funktion, der ikke er kontinuerlig, siges at være diskontinuerlig .

Det er ideen om tærsklen ε, der er fast på forhånd, som er vigtig. Denne definition er resultatet af indsatsen fra matematikere af det XIX th  århundrede for at gøre streng den intuitive forestilling om kontinuitet. I ikke-standardanalyse er en mere intuitiv tilgang mulig: vi vil sige, at f er kontinuerlig i a, hvis f ( x ) - f ( a ) er uendeligt lille, når x - a er uendeligt lille. Alt er derefter baseret på en streng definition af det uendeligt lille, og denne definition gælder kun for såkaldte standardfunktioner.

Den globale definition af kontinuitet inden for rammerne af topologiske rum (se nedenfor) gør det også muligt at slippe af med ε, men dette på bekostning af formalismen i den generelle topologi .

Eksempler

• Mange af de sædvanlige funktioner er kontinuerlige i deres definitionsdomæne  : polynomiske funktioner , rationelle , eksponentielle , logaritmiske , hyperbolske , trigonometriske , rod n th , power n th , absolutte .
• Den heltal funktion over reelle tal er diskontinuerlig: en ”løfter blyanten” når ankommer til hvert heltal.
• En reel funktion, der kan differentieres på et punkt, er kontinuerlig på dette tidspunkt. (Det omvendte er falsk: se § “Fejl, der skal undgås” .)
• Der findes funktioner defineret på ℝ, som ikke er kontinuerlige på ethvert tidspunkt  : det er tilfældet med indikatorfunktionen ℚ, kaldet Dirichlet-funktionen , som er værd 1 på ethvert rationelt punkt og 0 andetsteds. Intuitivt kan vi se, at det for at spore denne funktion ville være nødvendigt at “løfte blyanten” et uendeligt antal gange pr. Interval, og frem for alt kan der ikke tegnes en linje af ikke-nul længde.
• Denne ” patologisk  ” eksempel  er generaliseret: for enhver sæt F σ (det vil sige en hvilken som helst forening af en serie af lukket ) af en ikke-triviel lukkede interval I af ℝ, eksisterer der et kort over jeg i ℝ hvis de punkter af diskontinuitet er nøjagtigt elementerne i dette sæt (det er faktisk en karakterisering af F σ ).

Ejendomme

Begrebet kontinuitet over et interval for virkelige funktioner

• er nyttig til at bevise eksistensen af ​​løsninger til ligninger med formen f ( x ) = m (se sætning for mellemliggende værdi );
• forenkler beregningen af ​​grænserne char .limx→påf(x)=f(på){\ displaystyle \ lim _ {x \ til a} f (x) = f (a)}

Sammensætningen af ​​kontinuerlige funktioner er en kontinuerlig funktion. Forbindelsen med en kontinuerlig funktion og en konvergent sekvens er en konvergent sekvens.

Stabilitetsegenskaberne ved kontinuitet ved lineær kombination (dvs. for alle α, β reelle og f , g kontinuerlige reelle funktioner, funktionen α f + β g er kontinuerlige) og efter produkt af to funktioner gør sættet af kontinuerlige funktioner til en algebra over felt med reelle tal.

Fejl at undgå

• En funktion, der kan differentieres på et punkt, er kontinuerlig på dette tidspunkt, men det omvendte er falsk. F.eks. Er kvadratroden og absolutte værdifunktioner kontinuerlige i 0, men kan ikke differentieres på dette tidspunkt (se artiklen "  Differentierbarhed  ").
• En sådan funktion, at f  : x ↦ 1 / x faktisk er kontinuerlig. Fejlen, der består i at sige, at f ikke er kontinuerlig ved 0, forstærkes af fraværet af præcision på dets definitionsdomæne: kontinuiteten på et punkt uden for definitionsdomænet har ingen betydning. I tilfælde af f , så længe en værdi ikke er angivet for f (0) , skal vi antage, at det betragtede definitions domæne er ℝ *. At sige, at f er eller ikke er kontinuerlig i 0 giver således ingen mening; vi kan kun sige, at det ikke kan udvides ved kontinuitet til en kontinuerlig funktion ved 0.
• I historien blev kontinuiteten af ​​en funktion betragtet som "ikke at være i stand til at passere fra en værdi til en anden uden at gå igennem alle de mellemliggende værdier" (en egenskab, der ofte kaldes PVI for "egenskab af mellemliggende værdier"), men vi ved i dag, at der er ingen ækvivalens mellem de to: funktionen f  : x ↦ sin (1 / x ) udvidet med 1 til 0 tilfredsstiller egenskaben af ​​mellemværdier og er ikke desto mindre diskontinuerlig ved nul.

Definition for metriske mellemrum

Den virkelige linje er et metrisk rum , hvor den sædvanlige afstand på R er den, der forbinder med to tal den absolutte værdi af deres forskel. Ovenstående definition er derfor naturligt generaliseret:

Definition

Definition  -  Lad ( E , d ) og ( E ' d' ) to metriske rum, f en ansøgning til E i E ' og har et punkt i E .

Vi siger, at kortet f er kontinuerligt i punkt a, hvis:

∀ε>0∃η>0∀x∈E[d(x,på)<η⇒d′(f(x),f(på))<ε].{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ eksisterer \ eta> 0 \ quad \ forall x \ i E \ quad \ left [d (x, a) <\ eta \ Rightarrow d '(f (x), f (a)) <\ varepsilon \ højre].}

Igen er f således kontinuerlig i et hvis og kun hvis grænsen for f i a eksisterer (det er da nødvendigvis f ( a ) ).

Eksempler

• Enhver ensartet kontinuerlig anvendelse mellem to metriske rum - især enhver Lipschitzian-applikation - er kontinuerlig.
• En lineær afbildning fra en normaliseret vektorrum til en anden er kontinuert hvis og kun hvis det er afgrænset på enheden bold (og det er derefter Lipschitzian).

Dette er altid tilfældet, hvis startrummet har en begrænset dimension , men det ubegrænsede tilfælde forekommer i uendelig dimension: lad os betragte afledningen på rummet ℝ [ X ] af de virkelige polynomer som et lineært kort ved at vælge, som norm for et polynom, summen af de absolutte værdier af dets koefficienter. Alle monomialer X n er af normen 1. Men deres afledte polynomier er af formen nX n -1 , derfor normen n med n vilkårligt stor. Så familien af ​​derivater er ubegrænset, og afledningen er ikke et kontinuerligt kort.

Vi giver to ækvivalente definitioner i tilfælde af topologiske rum .

Lokal definition

Vi kan få den lokale definition (det vil sige for et punkt) om kontinuitet til at hvile på begrebet grænse  :

Definition  -  Lad E og F være to topologiske rum, f en ansøgning til E i F og har et punkt i E .

Funktionen f siges at være kontinuerlig i punkt a, hvis f ( a ) er en grænse på f på dette punkt.

Hvis F er separeret (eller endda kun T 1 ) som enhver metrizable plads , er det tilstrækkeligt for , at der er en grænse på f på dette punkt.

Sekventiel karakterisering Hvis E er metrisk (eller mere generelt: arveligt sekventielt ), er f kontinuerlig i et hvis (og kun hvis) for en hvilken som helst sekvens ( x n ), der konvergerer til a , konvergerer sekvensen f ( x n ) til f ( a )  ; og når desuden F er T 1 (eller endda kun med en enkelt sekventiel grænse ), er det tilstrækkeligt, at for ethvert sekvens ( x n ) konvergerende til et sekvensen f ( x n ) optager en grænse.

Begrebet tærskel anvendes til reelle funktioner er generaliseret ved begrebet naboskab  : betegner det sæt af kvarterer i en , og dem af f ( a ) . Vi beviser derefter: V(på){\ displaystyle {\ mathcal {V}} (a)}V(f(på)){\ displaystyle {\ mathcal {V}} \ left (f (a) \ right)}

Sætning  -  Funktionen f er kontinuerlig ved punkt a hvis og kun hvis det omvendte billede af et hvilket som helst kvarter W af f ( a ) er et kvarter af x , som er skrevet:

∀W∈V(f(på)),f-1(W)∈V(på).{\ displaystyle \ forall W \ i {\ mathcal {V}} (f (a)), \ quad f ^ {- 1} (W) \ i {\ mathcal {V}} (a).}

Til det er det tilstrækkeligt, at denne egenskab verificeres for ethvert W på basis af kvarterer i f ( a ) , for eksempel for ethvert åbent W, der indeholder f ( a ) .

Funktionen f kaldes kontinuerlig på A (eller blot kontinuerlig), hvis det er kontinuert i ethvert punkt i E . Det siges at være kontinuerlig på en del A af E, hvis dens begrænsning til A (forsynet med den inducerede topologi ) er kontinuerlig ( for det er det tilstrækkeligt, at f er kontinuerlig på ethvert punkt i A ).

Globale karakteriseringer

Vi kan udlede fra den lokale definition tre ækvivalente karakteriseringer af applikationerne, der er kontinuerlige (på ethvert tidspunkt i startområdet).

Den første af disse er, at en applikation er kontinuerlig, hvis og kun hvis det gensidige billede af alt åbent i ankomstområdet er et åbent i afgangsrummet. Følgende, analogt, er skrevet med lukket . Den fjerde bruger begreberne vedhæftning og direkte billede og de to sidste, vedhæftning eller kant- og gensidigt billede.

Forbindelsen med den intuitive opfattelse er som følger: når en funktion “springer”, betyder det, at punkter meget tæt på startområdet findes på meget fjerne punkter ved ankomsten. For en kontinuerlig anvendelse er disse spring imidlertid umulige, for hvis vi overvejer et udgangspunkt og dets image ved ankomsten, ved vi, at et helt kvarter af dette startpunkt skal ankomme i nærheden af ​​ankomstpunktet.

Sætning  -  Lad E og F være to topologiske rum og f en ansøgning til E i F . Følgende egenskaber er ækvivalente:

1. f er kontinuerlig på ethvert punkt i E  ;
2. for enhver åben O af F er f −1 ( O ) en åben for E  ;
3. for enhver lukket G af F er f −1 ( G ) en lukket af E  ;
4. for enhver del A af E er f ( A ) inkluderet i f ( A )  ;
5. for enhver del B af F er f −1 ( B ) inkluderet i f −1 ( B )  ;
6. for enhver del C af F er ∂ f −1 ( C ) inkluderet i f −1 (∂ C ) .

• Karakterisering 2 og 3 bruges ofte tværtimod for at vise, at et bestemt sæt er åbent (eller lukket) ved at involvere en applikation, som vi allerede ved, er kontinuerlig. For eksempel :
  • I R 2 , den hyperbel af ligningen xy = 1 er lukket, som en gensidig billede af singleton {1} af den kontinuerlige kort "produkt": R 2 → R , ( x , y ) ↦ xy .
  • Den graf af en kontinuerlig kort f  : E → F er lukket i E × F som snart F er adskilt .
  • To kontinuerlige kort med værdier i et adskilt rum, der falder sammen på en tæt del, er ens. Dette gør det f.eks. Muligt at vise, at sættet med kontinuerlige funktioner fra R til R kun har kraften i det kontinuerlige, hvorfor dets kardinal er strengt mindre end | R R | = | P ( R ) |.
• I karakterisering 4 og 5 er de gensidige indeslutninger generelt falske. For eksempel hvis f er det kontinuerlige kort over R i R, som til x associerer 1, hvis x ≤ 1 og 1 / x, hvis x ≥ 1 , 0 ikke hører til f ( R ), mens det tilhører f ( R ) , og gør hører ikke til f −1 (] 0, 1 [) mens det tilhører f −1 ( ] 0, 1 [ ) .
• Ifølge denne sætning er enhver begrænsning-korestriktion af et kontinuerligt kort kontinuerligt (for inducerede topologier ).
• Denne sætning gør det også muligt at vise, at hvis E er en forening af åbninger, således at begrænsningen af f til hver af disse åbninger er kontinuerlig, så er f kontinuerlig, og ligeledes hvis E er foreningen af ​​et endeligt antal lukkede, således at begrænsningen af f til hver af disse lukkede er kontinuerlig. For en genforening (endda endelig) af "uspecificerede dele" har vi intet resultat af denne art ( jf. "  Dirichlet-funktion  ").
• Hvis E er sekventiel, er f kontinuerlig over E hvis (og kun hvis) for et hvilket som helst punkt a af E og en hvilken som helst sekvens ( x n ), der konvergerer til a , konvergerer sekvensen f ( x n ) til f ( a ) .

Eksempler

• En konstant anvendelse fra et topologisk rum til et andet er kontinuerligt. Faktisk er det gensidige billede af en hvilken som helst del enten det tomme sæt eller hele startsættet .
• Enhver applikation, hvis startplads er forsynet med den diskrete topologi eller ankomstområdet for den grove topologi , er kontinuerlig.
• Den identitet ansøgning , fra et sæt forsynet med en vis topologi til det samme sæt forsynet med en anden topologi, er kontinuerlig, hvis og kun hvis topologien på start sæt er finere end på sæt. 'Ankomst . Den gensidige sammenhæng er derefter ikke kontinuerlig, medmindre de to topologier er ens.
• Lad A være en del af et topologisk rum X , og 1 A være dets karakteristiske funktion  :
  • af X i ℝ (eller ved corestriction, af X i parret {0, 1} udstyret med den diskrete topologi), punkterne af X , hvori 1 A er diskontinuerlig er de punkter i grænsen af A  ;
  • af X i Sierpiński rum (parret {0, 1} udstyret med topologien {∅, {1}, {0, 1}}), punkterne af X , hvori 1 A er diskontinuerlig er derefter kun punkterne A ikke interiør til A .

Et metrisk rum ( E , d ) har en tilknyttet topologi τ . For ethvert punkt a af E danner de åbne kugler med center a og strengt positive radier et grundlag for kvarterer i a for denne topologi. Hvis τ ' betegner topologien forbundet med et metrisk rum ( E' , d ' ), så:

Egenskab  -  En funktion f fra ( E , d ) i ( E ' , d' ) er kontinuerlig ved et punkt på E, hvis og kun hvis den er kontinuerlig på dette punkt, betragtes som en funktion af ( E , τ ) i ( E ' , τ' ).

Faktisk er funktionen kontinuerlig a fra topologisk synspunkt, hvis og kun hvis (ved hjælp af d ' -kuglerne danner basis for kvarterer i f ( a ))  : ∀ε>0f-1(B(f(på),ε))∈V(på).{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad f ^ {- 1} \ left (B (f (a), \ varepsilon) \ right) \ i {\ mathcal {V}} (a).} Ved hjælp af d- kugler, der danner grundlag for kvarterer i a , omskrives denne betingelse: ∀ε>0∃η>0B(på,η)⊂f-1(B(f(på),ε)){\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ exist \ eta> 0 \ quad B (a, \ eta) \ subset f ^ {- 1} \ left (B (f (a), \ varepsilon) \ right) } eller: ∀ε>0∃η>0∀x∈B(på,η)f(x)∈B(f(på),ε),{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ eksisterer \ eta> 0 \ quad \ forall x \ i B (a, \ eta) \ quad f (x) \ i B (f (a), \ varepsilon), } hvilket svarer nøjagtigt til definitionen af ​​kontinuitet formaliseret af afstande.

Begrebet kontinuitet i historien

Kontinuitet er ikke altid blevet defineret på den foregående måde.

Euler i sin Introductio in analysin infinitorum definerer den kontinuerlige funktion som en funktion defineret af et enkelt endeligt eller uendeligt analytisk udtryk ( hele serien ) og kalder diskontinuerlige eller blandede funktioner dem, der har flere analytiske udtryk i henhold til intervallerne. Sylvestre Lacroix (1810) kalder en kontinuerlig funktion for en funktion, hvis værdier er defineret ud fra den samme lov eller afhænger af den samme ligning. Denne forestilling om kontinuitet kaldes eulerisk kontinuitet og er mere restriktiv end den nuværende definition. For eksempel er den funktion, der er defineret for en hvilken som helst negativ real med f ( x ) = x, og enhver positiv reel med f ( x ) = x 2 kontinuerlig i den nuværende betydning og blandet (diskontinuerlig) i betydningen Euler.

Den definition, vi bruger i dag, er den, der gives af Bernard Bolzano i hans funktionsteori: “Funktionen f ( x ) varierer i henhold til kontinuitetsloven for værdien x, hvis forskellen | f ( x + w ) - f ( x ) | måske lavet mindre end en given værdi. »(Prag 1816).

Augustin Louis Cauchy definerer i sin Cours Analyze de l'Ecole Royale Polytechnique kontinuitet i x ved: f er kontinuerlig i x, hvis den numeriske værdi af forskellen f ( x + a ) - f ( x ) falder på ubestemt tid med værdien for a , således at bruge begreberne uendeligt lille.

En anden definition af kontinuitet, inspireret af Cauchy, er sekventiel karakterisering ( se ovenfor ). Den sekventielle definition af global kontinuitet svarer kun til den moderne definition over et sekventielt rum .

På trods af denne formelle definition forbliver brugen af ​​kontinuitet i begyndelsen af XIX E  århundrede stort set intuitiv, når man ser Cauchy have følgende ræsonnement for at demonstrere sætningen af ​​de mellemliggende værdier: "Funktionen f er kontinuerlig mellem punkterne x 0 og x , kurven, der har ligning y = f ( x ), vil være kontinuerlig mellem punkterne ( x 0 , f ( x 0 )) og ( x , f ( x )) og ligningslinjen y = b, som vil passere mellem punkterne ordinater f ( x 0 ) og f ( x ) kan kun mødes i intervallet den nævnte kurve. "

Der er også en forestilling om stærkere kontinuitet : ensartet kontinuitet , hvor afstanden | f ( x ) - f ( x ' ) | kan gøres så lille, som vi vil, for ethvert par ( x , x ' ), således at afstanden | x - x ' | er tilstrækkelig lav. I modsætning til klassisk kontinuitet (kontinuitet ved et fast punkt a ) sikrer ensartet kontinuitet, at den øvre grænse er sand uden at skulle rette en . Denne forestilling blev afklaret af Eduard Heine i 1872.

Noter og referencer

1. Se f.eks. S. Ferrigno, A. Muller-Gueudin, D. Marx, F. Bertrand og M. Maumy-Bertrand, Mathematics for engineering sciences , Dunod ,2013( læs online ) , s.  146, definition 36.2.
2. (i) Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner og Andrew M. Bruckner  (i) , Elementær Reel analyse , vol.  1, www.classicalrealanalysis.com,2008, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. , 2001, Prentice-Hall), 365  s. ( ISBN  978-1-4348-4161-2 , online præsentation , læs online ) , s.  261.
3. For en demonstration, se f.eks. Kapitlet "Kontinuitet og homeomorfier" i lektionen "Generel topologi" på Wikiversity .
4. A. Dahan-Dalmedico og J. Peiffer , A History of Mathematics: Veje og labyrinter ,1986[ detaljer om udgaver ], s.  222 .
5. Jacques Bouveresse , Jean Itard og Émile Sallé, Historie om matematik [ detaljerede udgaver ], s.  34 .
6. Michel Guillemot, "Bolzano og demonstrationen af ​​sætningen af ​​mellemværdier", Den matematiske demonstration i historien , IREM i Lyon.

Se også

• Regularitetsklasse
• Klassificering af diskontinuiteter
• Hölder-tilstand
• Cauchy kontinuitet
• Derivabilitet
• Afledte
• Kontinuerlig funktion intetsteds differentierbar
• Homeomorfisme
• Oscillation (matematik)
• Semikontinuitet
• Teorem for sammenhængen
• Blumbergs sætning
• Frodas sætning

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">