Venstre krop

I matematik er et venstre felt eller en delingsring (nogle gange simpelthen kaldet et felt , se nedenfor) en af de algebraiske strukturer, der anvendes i almindelig algebra . Det er et sæt forsynet med to binære operationer, der muliggør visse typer addition, subtraktion, multiplikation og division. Mere præcist er et venstre felt en ring , hvor sættet af ikke-nul-elementer er en gruppe til multiplikation.

Ifølge den valgte definition af et felt, der adskiller sig efter forfatterne (kommutativiteten for multiplikation pålægges ikke altid), er begrebet venstre felt enten strengt ækvivalent med feltets (hvis multiplikationens kommutativitet ikke pålægges) eller udgør en generalisering af begrebet organ (hvis det pålægges). Vi henviser til artiklen Body (matematik) for flere detaljer.

Definition

Et venstre felt er en (enheds) ring , ikke reduceret til et element, hvor ethvert element, der ikke er nul, har en invers til multiplikation. Med andre ord er det en enhedsring, der ikke er reduceret til et element, og hvor sættet af ikke-nul-elementer er en gruppe til multiplikation.

Eksempler

Ethvert kommutativt felt er et venstre felt.
Det mest berømte eksempel på et ikke-kommutativt venstre felt er quaternions , opdaget af William Rowan Hamilton i 1843 .
Lad være en automorfisme af kroppe. Overvej ringen af formelle Laurent-serier med komplekse koefficienter med den multiplikative lov defineret som følger: i stedet for blot at lade koefficienterne skifte med den ubestemte , for vi stiller for . Hvis der er en ikke-privat automatisering af kompleksfeltet (for eksempel bøjningen ), så er ringen i den tilsvarende formelle Laurent-serie et ikke-kommutativt venstre felt. ${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ((z, \ sigma))}$ $z$ $\ alpha \ i {\ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z ^ {i} \ alpha: = \ sigma ^ {i} (\ alpha) z ^ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in \ mathbb {Z}}$ $\ sigma$

Resultater

En Wedderburn-sætning sikrer, at ethvert endeligt venstre felt er kommutativt.
Givet et simpelt modul på en (enheds) ring R , er ringen af endomorfier af dette modul et venstre felt, a priori ikke-kommutativt, selvom R er. Det er en af de mange former for Schurs lemma .
Den centrum af en venstre legeme K er per definition den indstillede Z ( K ) = { x ∈ K | ∀ y ∈ K , xy = yx }. Det er et kommutativt felt. Som et resultat er et venstre felt naturligt udstyret med en associativ algebrastruktur over et kommutativt felt, dette er et specielt tilfælde af divisionsalgebra . Når dimensionen af K i dens centrum er endelig, viser vi, at den er en firkant .

Noter og referencer

André Blanchard, ikke-kommutative felter , PUF,1972, s. 43
André Blanchard, op. cit. , s. 66

Relaterede artikler

Division algebra
Identity Hua (en)
Næsten-krop (da)