Enhedsring

I matematik er en enhedsring , undertiden en enkelt ring , men ofte simpelthen en ring (se ring (matematik) ), en af ​​de grundlæggende algebraiske strukturer i generel algebra . Det er et sæt, hvor to operationer tilfredsstiller nogle af egenskaberne for tilføjelse og multiplikation af relative heltal .

Historisk aspekt

Studiet af ringe opstod i den tyske skole i XIX th  århundrede. Det er udviklet af matematikerne Dedekind , Hilbert , Fraenkel og Noether . Det stammer fra studiet af algebraiske ligninger , de algebraiske tal og søgen efter en demonstration af Fermats sidste sætning . Det vil føre til en vigtig udvikling af generel algebra og algebraisk geometri .

I X th Supplement anden udgave af Forelæsninger om talteori af Dirichlet i 1871 Dedekind overvejet, siden begrebet krop ( Körper ), ringen af heltal af en algebraisk nummer, lidt senere introducerer han andre ringe, som han kalder ordrer ( Ordnung ). Men det var David Hilbert, der bruger udtrykket ring ( Ring ) til at definere, hvad der altid på det tidspunkt er en kommutativ ring med enhed, i sin rapport om numre ( Zahlbericht ) 1897 for Deutsche Mathematiker-Vereinigung .

Definition

En ensartet ring er et sæt A forsynet med to operationer (kaldet tilsætning og multiplikation ), der opfører sig som dem i hele tal vedrørende følgende præcise betydning: A forsynet med tilsætningen er en abelsk gruppe , formering er associativ , distributiv med hensyn til tilsætning , og det har et neutralt element .

Mere detaljeret er en ring et sæt A , hvori der gives to love med intern sammensætning , betegnet + og ∙ , der bekræfter følgende egenskaber:

• Uanset hvilke elementer a , b og c, der hører til sæt A  :
  • ( a + b ) + c = a + ( b + c )
  • a + b = b + a
  • ( a ∙ b ) ∙ c = a ∙ ( b ∙ c )
  • a ∙ ( b + c ) = a ∙ b + a ∙ c
  • ( b + c ) ∙ a = b ∙ a + c ∙ a
• Der eksisterer et element, betegnet 0 og kaldes det neutrale element i loven om intern sammensætning + , således at for ethvert element en tilhørende sæt A  :
  • a + 0 = 0 + a = a
• Hvert element en tilhører den indstillede A har en modsat , betegnet - en , som opfylder:
  • a + (- a ) = (- a ) + a = 0
• Der eksisterer et element, bemærket 1 og kaldes det neutrale element i loven om intern sammensætning ∙ eller enhedselement , således at for ethvert element en tilhørende sæt A  :
  • a ∙ 1 = 1 ∙ a = a

En kommutativ ring er en ring, hvis multiplikation også er kommutativ . Ved at forklare som ovenfor er det en ring, hvor følgende identitet verificeres uanset elementerne a og b i sæt A  :

• a ∙ b = b ∙ a .

Terminologisk note: “ringer” uden multiplikativ neutral

Et mindretal af forfattere definerer en ring uden at kræve eksistensen af ​​et neutralt element til multiplikationen. Læseren, der søger information om denne struktur, som ikke er genstand for denne artikel, henviser til pseudo- artikel . På grund af denne definitionsvariabilitet kan det være klogt, når man frygter forvirring at specificere enhedsring (eller samlet ) ring, når man henviser til en ring i betydningen i denne artikel, en ring, der har en multiplikativ neutral.

Eksempler

Eksempler på kommutative ringe

• Enkeltelementsættet {0} med operationerne 0 + 0 = 0 og 0 · 0 = 0 er en kommutativ ring, kaldet en nullring eller trivial ring .
• Sættet ℤ af relative heltal, forsynet med addition og multiplikation, er en kommutativ ring.
• Et kommutativt felt er en kommutativ ring, for hvilken alle ikke-nul-elementer er inverterbare til multiplikation. Blandt mange andre er sættet ℚ af rationelle tal , sættet ℝ af reelle tal , sættet ℂ af komplekse tal , forsynet med den sædvanlige tilføjelse og multiplikation, kommutative felter, derfor kommutative ringe.
• Sættet af kongruensklasser modulo et givet strengt positivt heltal n er en kommutativ ring for loven, der stammer fra kongruens; det betegnes ℤ / n ℤ .
• Sættet med polynomer med koefficienter i en kommutativ ring er også en kommutativ ring.

Eksempler på ikke-kommutative ringe

• De endomorphisms af en vektorrum danne en ring, hvor den første lov er tilføjelsen af funktionen til + lov og den anden er præparatet. Det er ikke kommutativt generelt.
• Ringen M n ( A ) af kvadratiske matricer af størrelse n med koefficienter i en enhed ring A er i sig selv en enhed ring (det multiplikative neutral være identitetsmatrixen I n ), noncommutative hvis n > 1 .
• Den quaternions Hamilton er en ikke-kommutativ felt .

Modeksempler

• Sættet N af naturlige tal er ikke en ring, fordi det ikke er en gruppe, når det forsynes med tilføjelsen: eksistensen af ​​modsætninger mangler. Det er en semi-ring .
• Sættet 2ℤ af lige (relative) heltal er ikke en ring, fordi dets multiplikation ikke har noget neutralt element. Det er en pseudo-ring .
• Sættet af oktioner er ikke en ring, fordi dens multiplikation ikke er associerende. Nogle gange henvist til ring ikke-associerende  (in) .
• For enhver ikke- triviel gruppe ( G , +) bliver gruppen ( G G , +) af kort fra G til G , når vi giver det med sammensætningen ∘, en næsten ring  (en) , men ikke en ring ens hvis G er kommutativ, fordi fordelingsevnen til venstre ikke er verificeret: vi har ikke f ∘ ( g + h ) = ( f ∘ g ) + ( f ∘ h ).

Og stadig andre eksempler

Vi fandt flere eksempler, der blev tildelt passende dele af artikler, der er afsat til bestemte klasser af ringe, og især Artikler kommutativ ring , integreret domæne og associerende algebra over et felt .

Afsnittet "Ringkonstruktion" nedenfor giver også en mere komplet og systematiseret liste med eksempler.

Basale koncepter

Morfismer

En ringmorfisme er et kort f mellem to ringe A og B, som er kompatibelt med deres struktur i følgende nøjagtige forstand:

For alle a , b i A  :

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f ( a ∙ b ) = f ( a ) ∙ f ( b )

Især hvis A og B er enhed, siges denne morfisme at være enhed hvis

f (1 A ) = 1 B .

Følgende anvendelser er eksempler på ringmorfier:

• Den konjugation af ringen af komplekse tal til sig selv. Denne morfisme er bijektiv (vi siger, at det er en automorfisme af ℂ);
• For n strengt positivt heltal er projektionen af ​​ℤ på ringen ℤ / n ℤ  ;
• Evalueringsfunktionen, der associeres med et polynom P med reelle koefficienter, dens værdi P ( c ) i en fast reel c .

Ringmorfismer består af hinanden, hvilket gør ringklassen til en kategori .

Underringe

En del B af en ring A kaldes en underring af A, når:

• B er en additiv undergruppe af A
• B er stabil til multiplikation
• Det neutrale multiplikative A tilhører B .

Her er nogle eksempler på underringe:

• Ringen ℤ af relative heltal er en underring af ringen ℝ af reelle tal;
• De polynomier uden første grad monomial af formen en delring af ringen af polynomier ℝ [ X ];
• De kontinuerlige funktioner fra ℝ til ℝ danner en underring af ringen af ​​alle funktionerne fra ℝ til ℝ.

En injektionsringmorfisme mellem to ringe inducerer en identifikation mellem dens startring og en underring af dens ankomstring.

Idéer og kvotientringe

Begrebet kvotientring gør det på en dobbelt måde, selvom det er lidt mere teknisk, det muligt at beskrive ankomstringen af ​​en overvejende morfisme som en kvotient for startringen. Dens definition er baseret på princippet om tosidede idealer , som er de objekter, hvorigennem man kan quotienting (de er ens i betydning til de undergrupper af teorien om grupper ).

Et tosidet ideal I af en ring A (eller simpelthen ”  ideelt  ”, når der ikke skal frygtes nogen forvirring, især i kommutativt tilfælde) er en additiv undergruppe af A, der bekræfter:

for alle x i jeg og alt har til A , økse ∈ I og x ∈ jeg .

Vi definerer et ideal til venstre (resp. Til højre ) som en additiv undergruppe, for hvilken vi kun har brug for betingelsen ax ∈ I (resp. Xa ∈ I ). Selvom de ikke tillader konstruktion af kvotientringe, er de vigtige begreber i teorien om ikke-kommutative ringe.

Her er nogle eksempler på idealer:

• Under alle ring A , {0} og A er to sided idealer A .
• I en kommutativ ring A er sættet af multipler af et givet element b (det vil sige om ab , en gennemgående A ) et ideal for A , kaldet hovedidealet genereret af b . For eksempel er sættet med multipler på 5 et ideal for ringen ℤ.
• Sættet af polynomer med heltalskoefficienter, hvis konstante sigt er jævnt, er et ideal for den kommutative ring ℤ [ X ], som ikke er principiel.
• I den ikke-kommutative ring af firkantede matricer med reelle koefficienter er sæt af matricer, hvis første kolonne er nul, et venstreideal, det sæt matricer, hvis første række er nul, er et rigtigt ideal. Der er ingen tosidede idealer bortset fra de to trivielle idealer i det første eksempel.

Et bilateralt ideal I gør det muligt at konstruere en kvotientring  : Den kommutative kvotientgruppe A / I kan udstyres med en multiplikation, der gør den til en ring, idet den kanoniske projektion af A på A / I derefter er en surjectiv morfisme. Som annonceret i introduktionen til underafsnittet, er billedet af enhver form for ringmorfisme isomorf til et kvotient af dens startring (kvotienten ved morfismens kerne ).

Beregning i en ring

Udstyret med sin eneste multiplikation er en ring en bestemt monoid . Definitionerne, der giver mening i denne bredere ramme (eller endda i en endnu mere generel ramme), kan derfor bruges til at navngive egenskaber for ringens elementer. Blandt andet er følgende begreber relevante i ringteorien, som alle vedrører den anden lov (multiplikation):

• dem af permutable elementer og af centrale element  ;
• det af idempotent element  ;
• at af positive hele beføjelser af et grundstof (herunder konventionen x 0 = 1 for alle x );
• dem af det invertible element (eller kun for det invertible element til venstre eller det invertible til højre) og styrker med negativ eksponent for sådanne elementer. Som i enhver monoid danner invertiblerne en gruppe , som vi kalder gruppen af ringenhederne.

I enhver ring:

• 0 er absorberende til multiplikation;
• (- a ) ∙ b = - ( a ∙ b ) (fordi (- a ) ∙ b + ( a ∙ b ) = (- a + a ) ∙ b = 0 ∙ b = 0);
• a ∙ (- b ) = - ( a ∙ b ) (ligeledes);
• især (–1) ∙ x = x ∙ (–1) = - x (dermed (–1) ∙ (- x ) = (- x ) ∙ (–1) = - (- x ) = x ).

I en ring er det generelt umuligt at forenkle i en multiplikation uden forholdsregler. Vi ved for eksempel, at hvis firkantede matricer A , B og C verificerer identiteten AB = AC , kan vi ikke udlede ud fra dette, at B = C og dette, selvom A ikke er nulmatricen . De to begreber, der følger, gør det muligt at analysere disse mangler ved forenkling:

• et ikke-nul-element a af A er en skillevæg på nul til højre (hhv. til venstre), hvis der findes et ikke-nul- element b af A, således at ba = 0 (resp. ab = 0). Det siges at være en skillevæg på nul, hvis det er en skillevæg på nul til højre eller en skillevægt på nul til venstre.
• et element a af A siges at være nilpotent, når der findes et heltal m ≥ 1, således at a m = 0. Det mindste heltal, for hvilken denne identitet er verificeret, kaldes nilpotensrækkefølgen for a . Ethvert ikke-nul-potentielt element er en skiller på nul.

Eksempler: 2 er nilpotent i alle ringe ℤ / 2 n ℤ hvor n ≥ 2.

Den formel for binomiale sætning gælder for alle par af udskiftelige elementer. For alle permutable x , y og ethvert positivt eller nul heltal n :

(x+y)ikke=∑k=0ikke(ikkek)xikke-kyk.{\ displaystyle (x + y) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ vælg k} x ^ {nk} y ^ {k}.}

Det generaliserer til enhver begrænset familie af elementer, der er permutable parvis: det er formlen for det multinomiale .

Funktion

Den karakteristiske af en ring er, hvis den findes, den mindste strengt positivt heltal n således at:

1+1+⋯+1⏟ikketermes = 0.{\ displaystyle \ underbrace {1 + 1 + \ cdots +1} _ {n \; vilkår} ~ = ~ 0.}

Hvis et sådant heltal ikke findes (med andre ord hvis 1 er af uendelig additiv rækkefølge ) siger vi, at karakteristikken er nul.

Moduler

Formalismen i vektorrum , hvor skalarer , elementer i en krop , multiplicerer vektorer , kan udvides til skalære elementer i en ring. De således definerede strukturer kaldes moduler .

Studiet af modulerne er et mål i sig selv og har mange konsekvenser, som ikke er genstand for denne artikel. En af dem har ikke desto mindre sin plads her: en ring kan betragtes som et modul i sig selv, hvilket muliggør geninvestering i teorien om ringene til teknikker, der er specifikke for modulerne.

Mere præcist, givet en ring A, hvis multiplikation vi betegner med x, beholder vi dens additive gruppelov, og vi giver den en ekstern lov betegnet ∙ ved at indstille, for α skalar i A og en vektor i A  :

α ∙ a = α x a .

Tilføjelsen og give med denne eksterne lov derefter A en struktur modul venstre på A . På samme måde vil den eksterne lov, der er defineret af: a ∙ α = a x α, give den en højre modulstruktur.

Denne struktur giver ny indsigt A . Vi ser for eksempel, at idealerne til venstre (resp. Højre) er nøjagtigt submodulerne for modulstrukturen til venstre (resp. Højre) og i kommutativt tilfælde, at idealerne er nøjagtigt de submoduler.

Enhedsassocierende algebraer

Vi kalder enhedsassociativ algebra på en kommutativ ring R en ring A, der også er forsynet med en ekstern modullov , der har R for ring af skalarer, kompatibel med den interne multiplikationslov i følgende betydning: for enhver skalar α i R og alle elementer a , b af A  :

α ( ab ) = ( αa ) b = a ( αb ).

Enhedsassocierende algebraer danner derfor en enorm klasse af ringe og giver meget varierede samlinger af vigtige eksempler. Desuden kan enhver ring betragtes som en algebra på ℤ på samme måde som enhver abelisk gruppe kan betragtes som et ℤ-modul, og enhver kommutativ ring kan betragtes som en algebra for sig selv (kommutativitet er vigtig her). De specifikke værktøjer til teorien om associerende algebraer er derfor tilgængelige til at konstruere og studere ringe.

Kommutative ringe

Den meget rige teori, der er specifik for kommutative ringe, kaldes kommutativ algebra . Der henvises til den detaljerede kommutative ring , udvidet med artikelintegralt domæne , for en oversigt over begreber, der er unikke for denne klasse af ringe: ringetast , ringfaktor , hele element osv.

Ringkonstruktion

To af de mest grundlæggende begreber til fremstilling af eksempelringe er allerede blevet diskuteret ovenfor:

• De sub-ringe af en given ring er til gengæld ringe: det er sådan, for eksempel, vil vi producere ringen af kontinuerte funktioner fra ringen af alle funktioner. I algebraisk talteori , fra to kommutative ringe A ⊂ B inkluderet den ene i den anden, er ringen af ​​elementerne af heltal B på A en vigtig underring.
• De ringe kvotienter ved en bilateral ideal er igen ringe. Metoden modtager meget varierede applikationer, især i kommutativ algebra , der tilvejebringer ringen ℤ / n ℤ, men også på en mere skjult måde konstruktioner af kommutative felter som kvotienter af ringe af polynomer på et allerede kendt felt (se om dette emne, artiklen “  Brudlegemer  ”) - man bygger således alle de endelige felter, der starter fra den eneste ℤ / p ℤ, eller feltet complex for komplekserne, der starter fra feltruller med de reelle tal . De algebraiske geometri- fulde ringe er konstrueret efter denne metode, og ringen reduceres ikke i dobbelt antal .

Disse to metoder kræver forudgående tilgængelighed af en ring. For at initialisere konstruktioner er følgende teknikker særlig vigtige:

• Givet en abelisk gruppe E , er sættet End ℤ ( E ) for gruppeendomorfier af E forsynet med tilføjelsen af ​​funktioner og sammensætning en ring. Ved at anvende denne konstruktion på E = ℤ 2 opnår vi et første ikke-kommutative eksempel, isomorf til ringen af matricer (2, 2) med heltalskoefficienter.
  • Hvis E er udstyret med en rigere struktur end en abelisk gruppe, især med et modul på en ring, der er mere beriget end de relative heltal eller endda med vektorrum , kan gruppeendomorfismerne, der respekterer den yderligere struktur, udgøre en under- ring fra den, der er angivet i det foregående eksempel. For eksempel, hvis E = ℝ 2 set som vektorrum på ℝ, er sættet med dets endomorfier af vektorrummet Ende ℝ (ℝ 2 ) en ring, der subring af den gigantiske ring Ende ℤ (ℝ 2 ) af dens endomorfier af gruppen. Det er isomorft til ringen af matricer (2, 2) med reelle koefficienter.
  • Faktisk er en hvilken som helst ring A en underring af en sådan ring af ℤ-modulmorfismer, nemlig End ℤ ( A ). Hvis vi definerer l en  : A → A ved l a ( x ) = ax , ser vi, at l en er en endomorfien for abelsk gruppe opbygning, herefter at en ↦ l et er en injektiv ring morphism af A i End ℤ ( A ).
• Givet en ring A , ved vi, hvordan man konstruerer en ring af polynomer med koefficienter i A , betegnet A [ X ].
  • Iteration af denne proces tilvejebringer ringe af polynomer i flere ubestemte .

Et andet grundlæggende værktøj fra allerede kendte ringe er det direkte produkt:

• Givet en familie af ringene A jeg , vi konstruere et produkt af disse ringe (hvis underliggende sæt er det kartesiske produkt af sættene A i ).
  • En bemærkelsesværdig tilfælde er, når alle A jeg er den samme ring A . Sættet, der ligger til grund for deres produkt, er derefter sættet A I for applikationerne fra I til A forsynet med den sædvanlige tilføjelse og multiplikation af applikationerne.
  • Når A i udgør et projektivt system , konstruerer vi som en underring af deres produkt en projektiv grænsering af systemet. Denne procedure gør det muligt at konstruere ringene af formelle serier på en kommutativ ring eller ringen ℤ p af p -adiske heltal .

Nogle teknikker er inden for kommutativ algebra  :

• Den lokalisering består, givet et integreret ring , i at tilføje elementer for at muliggøre deling af nogle af elementerne i ringen (konceptet findes også for eventuelle kommutativ ring, men er lidt mere teknisk). Når vi tillader alle nævnerne (undtagen 0), vi konstruere område af fraktioner af den integrerende ring, hvilket således feltet ℚ af rationale tal fra ringen af heltal; når man autoriserer de eneste nævnere, der ikke hører til et givet maksimalt ideal , konstruerer man en lokal ring , en konstruktion, der er særlig hyppig i algebraisk geometri.
• Den færdiggørelse  (en) af en topologisk ring giver området for reelle tal fra det af rationelle tal. Eksemplerne på den projektive grænse, der er givet ovenfor (formelle serier, p -adiske heltal ), kan også knyttes til denne konstruktionsmetode.

Synspunktet for enhedsassocierende algebraer giver et sidste værktøj:

• Det tensor produkt kan bruges på forskellige måder at konstruere nye ringe. Først gives en kommutativ ring R og en R -modul V , den tensor algebra af V er en bemærkelsesværdig ensartet associativ algebra, derfor en bemærkelsesværdig ring. For det andet gør tensorproduktet af algebraer det muligt at "multiplicere" to ringe imellem dem på en meget anden måde end konstruktionen af ​​det direkte produkt, der er angivet ovenfor.

Bibliografi

For en introduktion til teorien om ringe

• (en) David M. Burton, et første kursus i ringe og ideer , Addison Wesley,1970Mens du forbliver tilgængelig for en nybegynder, skal du ikke forsømme de ikke-kommutative ringe. Pas på, at i dette arbejde bruges ring til at betegne en pseudo-ring.
• Jean Fresnel, Ringe , Paris, Hermann,2001, 359  s. ( ISBN  978-2-7056-1447-8 , note BNF n o  FRBNF37692694 )Hovedsageligt beskæftiger sig med kommutative ringe.

Generelle algebra-lektioner indeholder uundgåeligt et eller flere kapitler viet til ringe. Uden at søge udtømmende citerer vi:

• N. Bourbaki , Algebra , Hermann,1970 ;
• (in) Paul Cohn , Algebra , t.  1, Wiley,1974, 321  s. ( ISBN  978-0-471-16430-2 ) ; (en) Algebra , t.  2, Wiley,1989, 428  s. ( ISBN  978-0-471-92234-6 ) ;
• Roger Godement , Cours d'Algebre , Hermann,1966, 2 nd  ed. (meget tilgængelig);
• (en) Pierre-Antoine Grillet, abstrakt algebra , New York, Springer-Verlag,2007, 669  s. ( ISBN  978-0-387-71567-4 , note BNF n o  FRBNF41150017 ) ;
• Serge Lang , Algebra , Paris, Dunod,2004, 3 e  ed. , 926  s. ( ISBN  978-2-10-007980-3 , note BNF n o  FRBNF39285909 ) ;
• Saunders MacLane og Garrett Birkhoff , Algebra: Fundamental Structures , Gauthier-Villars,1967.

At gå lidt længere

• (en) Tsit Yuen Lam , et første kursus i ikke-kommutative ringe , Springer, koll.  "  GTM  " ( nr .  131)2001, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1991), 385  s. ( ISBN  978-0-387-95183-6 , online præsentation )
• (en) Louis Rowen, Ringteori , bind.  1, Boston, Academic Press,1988( ISBN  978-0-12-599841-3 , varsel BNF n o  FRBNF44638370 , læse online )

Noter og referencer

1. Se for eksempel:
   • Lelong-Ferrand og Arnaudiès 1978  ;
   • Stéphane Balac og Frédéric Sturm, algebra og analyse: første års matematik kursus med korrigerede øvelser , PPUR ,2003, 1021  s. ( læs online ) , s.  64, note 12;
   • Dictionary of Notions , Encyclopædia Universalis , koll.  "Universalis Dictionaries" ( nr .  3),2015, 3456  s. ( læs online ) , s.  3129.
   Bourbaki 1970 , s.  I-12, I.92 og I.93 definerer klart kvalifikatoren "unifier" men for magmas . Dens definition af ring antager et neutralt element til multiplikation. I mangel af denne eneste ejendom taler det om en "pseudo-ring".
2. Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathematiques 1700-1900 [ detalje af udgaver ], flyvning. 1, s. 111-112, 201-203, og (de) D. Hilbert, "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Jahresbericht der DMV , bind. 4, 1897, s. 175-546, § 31.
3. MacLane og Birkhoff 1967 , s.  135; Bourbaki 1970 , s.  I-92; Lang 2004 , s.  90-91.
4. Betingelsen for kommutativitet for tilføjelse er traditionelt krævet i definitionen af ​​en ring, men den følger af sammenhængen mellem de andre og er derfor overflødig: ja, hvis vi udvikler os på to forskellige måder (1 + 1) ∙ ( a + b ) = 1 ∙ ( a + b ) + 1 ∙ ( a + b ) = a + b + a + b men også (1 + 1) ∙ ( a + b ) = (1 + 1) ∙ a + (1 + 1) ∙ b = a + a + b + b så forenkler vi venstre og højre, kommutativiteten for tilføjelse vises, jf. Grillet 2007 , s.  107.
5. De fleste kilder formaliserer ikke alt for meget dette punkt. Det "der er givet" brugt i artiklen er et citat fra AG Kurosh ( overs.  J.-P. Peaudecerf), General Algebra , Dunod,1967, s.  24 ; andre forfattere skriver "forsynet med" ( Bourbaki 1970 , s.  I-92) eller blot "med" ( Cohn 1974 , s.  136). Et mindretal af kilder formaliserer mere på en variabel måde. Ifølge det konsulterede arbejde kan en ring defineres som en triplet ( A , +, ∙), således Godement 1966 , s.  137 eller Grillet 2007 , s.  105 eller en firdobling ( A , +, ∙, 1), jf. MacLane 1967 , s.  135, eller endda en femdoblet ( A , +, ∙, 0, 1), således i (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra I , WH Freeman and company,1989( ISBN  978-0-7167-0453-9 ) , s.  84og endda en sekstuplet ( A , +, ∙, -, 0, 1) i (en) Stanley Burris og HP Sankappanavar, et kursus i Universal Algebra , New York, Springer,nitten og firs, 276  s. ( ISBN  978-0-387-90578-5 , note BNF n o  FRBNF37371612 ) , s.  24.
6. Maurice Glaymann, “L'algèbre” , i matematik , Retz , koll.  "Encyclopedier af moderne viden",1975( ISBN  978-2-72566025-7 , læs online ) , s.  47.
7. Så (i) Neal McCoy, The Theory of Rings , The MacMillan Company,1964( ISBN  978-1-124-04555-9 ), ( Burton 1970 , s.  ?) Og Joseph Gallian, Contemporary Abstract Algebra , Houghton Mifflin,2004( ISBN  978-0-618-51471-7 )eller på fransk Jacqueline Lelong-Ferrand og Jean-Marie Arnaudiès , matematik-kursus - Tome 1, Algebra , Dunod,1978, s.  79.
8. MacLane og Birkhoff 1967 , s.  135 under navnet "trivial ring"; Bourbaki 1970 , s.  I-96 under navnet "null ring".
9. MacLane og Birkhoff 1967 , s.  135.
10. MacLane og Birkhoff 1967 , s.  152-153.
11. MacLane og Birkhoff 1967 , s.  162.
12. MacLane og Birkhoff 1967 , s.  226 (hvor erklæringen gives for moduler , gælder derfor især for abeliske grupper ).
13. MacLane og Birkhoff 1967 , s.  294-296.
14. Bourbaki 1970 , s.  I-98.
15. Raymond Raffin, Rings non-associatifs , præsentation på Dubreil-seminaret (1950-1951) tilgængelig online .
16. Bourbaki 1970 , s.  I.97.
17. Godement 1966 , s.  155.
18. Cohn 1974 , s.  137-138.
19. Denne analogi fremhæves for eksempel i (in) László Rédei  (in) , Algebra , Vol.  1, Pergamon Press,1967, s.  129.
20. Bourbaki 1970 , s.  I.99.
21. Bourbaki 1970 , s.  I.100 - I.101.
22. Vi kan bemærke, at ved at indstille denne betingelse, beslutter vi især at fastsætte den ikke nødvendigvis naturlige konvention, ifølge hvilken 0 0 = 1. Bemærkningen vises i Rédei 1967 , s.  47.
23. Bourbaki 1970 , s.  I.93.
24. Lang 2004 , s.  99.
25. Godement 1966 , s.  144-146.
26. Lang 2004 , s.  97.
27. Lang 2004 , s.  127.
28. Bourbaki 1970 , s.  III-2.
29. Godement 1966 , s.  139-140, eksempel 4.
30. Godement 1966 , s.  628, øvelse 41.

Se også

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">