Perfekt krop
I matematik og især i algebra i forbindelse med Galois-teorien er et perfekt felt et kommutativt felt, hvorfra alle algebraiske udvidelser kan adskilles .
Perfekte felter er nyttige til Galois-teorien, fordi de grundlæggende sætninger, såsom det primitive elementteorem eller den grundlæggende sætning i Galois-teorien, i hypoteserne bruger det faktum, at den betragtede udvidelse er adskillelig.
De perfekte kroppe er relativt hyppige, faktisk er enhver krop med karakteristisk nul (ligesom de af de rationelle tal , de reelle tal eller komplekse tal ) perfekt. Dette er også tilfældet for begrænsede felter .
Definition
- Et felt siges at være perfekt, hvis alle dets algebraiske udvidelser kan adskilles .
Lad K et legeme og L en algebraisk udvidelse af K . At sige, at udvidelsen kan adskilles, betyder, at ethvert minimalt polynom over K af et element af L kan adskilles, dvs. ikke tillader nogen multipel rod i dets algebraiske lukning . Vi kan derfor omformulere definitionen i:
- Et felt K siges at være perfekt, hvis et irreducerbart polynom af K [ X ] kan adskilles.
Eksempler
- Ethvert endeligt felt er perfekt (jf. Afsnitets egenskaber) .
- Ethvert felt med nul karakteristik er perfekt (jf. Afsnitets egenskaber) . Med andre ord: feltet med rationelle tal og dets udvidelser (som feltet med reelle tal eller p-adiske tal ) er perfekte.
- Ethvert algebraisk felt over et perfekt felt er i sig selv et perfekt felt (se afsnittet om egenskaber) .
- På den anden side er ikke felter i perfekte karakteristika p (et primtal) ikke perfekte. Overvej L = F p ( X ) feltet for rationelle fraktioner over det endelige felt af kardinal p , K underfeltet F p ( X p ) og det irreducerbare polynom P ( Y ) = Y p -X p af K [ Y ] . Derefter er elementet X af L en multipel rod (af rækkefølge p ) af P ( Y ), som derfor ikke kan adskilles.
Ejendomme
Adskillelseskriterium
Analysen af adskillelige udvidelser gør det muligt at etablere kriterier for adskillelighed af et polynom eller en udvidelse.
- Et polynom kan adskilles, hvis og kun hvis det er primært med dets formelle derivat.
- Et irreducerbart polynom kan adskilles, hvis og kun hvis dets formelle derivat ikke er nul.
- Antag K med karakteristisk p og P ( X ) et irreducerbart polynom. Det kan adskilles, hvis og kun hvis der ikke er noget polynom Q ( X ) i K [ X ], således at vi har ligestillingen P ( X ) = Q ( X p ).
- Lad L være en algebraisk udvidelse af K og M en algebraisk udvidelse af L . Så M kan adskilles i K hvis og kun hvis M kan adskilles i L og L kan adskilles i K .
- Ethvert algebraisk felt over en perfekt krop er i sig selv en perfekt krop.
Egenskaberne 1 til 4 er demonstreret i den detaljerede artikel, og 5 følger straks fra 4.
Karakterisering af perfekte kroppe
Sætning - En krop er perfekt, hvis og kun hvis der ikke er nogen funktion eller karakteristik , når Frobenius-endomorfismen er overvejende (dvs. ethvert element K har en rod p th i ). Især enhver endelig krop er perfekt.
Demonstration
- Hvis et felt K har nul karakteristik, er det perfekt.
Lad P ( X ) være en irreducerbar enhedspolynom af K [ X ] og n dens grad ( n > 0). Derefter er udtrykket for den højeste grad af dets formelle derivat lig med nX n -1 , derfor ikke nul (for i karakteristik 0 er n ikke nul), så dette derivat ikke er nul, derfor kan P ( X ) adskilles.
- Sagen om karakteristikken behandles i afsnittet Polynom og adskillelighed af artiklen om endomorfisme af Frobenius.
Se også
Relaterede artikler
eksterne links
- En kort præsentation af algebraiske udvidelser af Bernard Le Stum, University of Rennes 1 , 2001
- Et DEA-kursus om Galois-teori af Alain Kraus, University of Paris VI , 1998
- Adskilbare udvidelser på webstedet les-mathematiques.net
- (da) Eric W. Weisstein , " Perfect Field " , på MathWorld
- (da) " perfekt felt " , på PlanetMath
Referencer
- Régine og Adrien Douady , Algebra og Galois teorier [ detaljer af udgaver ]
- Serge Lang , Algebra [ detaljer af udgaver ]
- Pierre Samuel , algebraisk talteori [ udgave detalje ]