I matematik er Frobenius endomorfisme , opkaldt til ære for Georg Ferdinand Frobenius , en endomorfisme af kommutativ ring sat på en naturlig måde fra det typiske .
Det bruges især i sammenhæng med Galois-teorien eller i tilfælde af organ, der ikke er nul karakteristisk og mere specifikt i tilfælde af endelige felter og klassefeltteorien . Hvis kroppen er endelig, er det en automorfisme .
Det bruges generelt i algebraisk talteori , for eksempel til demonstration af loven om kvadratisk gensidighed .
Lad A være en enhedskommutativ ring, der som karakteristisk er et primtal p > 0. Frobenius endomorfisme er kortet defineret af:
Det bemærkes ofte Frob A eller Frob, hvis der ikke er tvetydighed.
Hvis Frobenius-endomorfismen er bijektiv, danner sættet af elementer Frobenius en undergruppe cyklisk af bindingsgruppen i ringen - undergruppen genereret af Frobenius-automorfismen - derfor følgende definition:
De to multiplikative egenskaber skyldes, at ringen er kommutativ (og samlet ):
For additivegenskaben starter vi fra Newtons binomiale formel :
Da p er primær, deler den alle binomiale koefficienter undtagen den første og den sidste ( jf. Divisors og Binomial Coefficients ). Denne egenskab gør det muligt at konkludere:
Faktisk, hvis ringen er integreret, så indeholder den ikke nogen skillevæg på nul , og derfor er kraften i et element nul, hvis og kun hvis dette element er nul.
Enhver indsprøjtning af et endeligt sæt i sig selv som en overvejelse (derfor en permutation ) udleder vi:
Det primære felt indeholdt i ringen A er det endelige felt med p- elementer, F p = ℤ / p ℤ . Ifølge Fermats lille sætning er dens elementer rettet af Frob A :
I det tilfælde, hvor ringen er integreret, kan polynomet X p - X ikke have flere rødder end dens grad. Han har derfor nøjagtigt så rødder elementerne i hans primære krop.
En anden konsekvens er følgende kendsgerning:
For A svarende til ringen af polynomer med koefficienter i F p giver denne linearitet den bemærkelsesværdige identitet:
I tilfælde af kommutative felter med ikke-nul karakteristik fremstår Frobenius-endomorfismen som et element i Galois-gruppen, når den er bindende, især derfor, hvis feltet er endeligt.
Finite felt F p n er et Galois udvidelse af graden n af F p hvis Galois gruppe (af orden n ) reduceres til Frobenius gruppen. Den underfelt af elementer invariant ved en Frobenius element af orden k er derfor F p m , hvor m er lig med n / k. Alle disse egenskaber er demonstreret i artiklen om begrænsede felter.
I tilfælde af uendelige udvidelser spiller Frobenius-elementerne også en vigtig rolle. De bruges især til at forstå, hvordan primære idealer nedbrydes i abelske forlængelser .
Ansøgningerne er mange, Frobenius-endomorfismen ser ud til at være et vigtigt redskab til analyse af integrerede ringe med karakteristisk p, hvis p er primær. Som et eksempel kan vi nævne analysen af adskillelighed eller endda analyser af minimale polynomer i et begrænset felt.
Et polynom med koefficienter i et kommutativt felt siges at være adskilt, hvis det ikke tillader en multipel rod i dets nedbrydningsfelt , og feltet siges at være perfekt, hvis alle dets irreducerbare polynomer er adskillelige. Formålet med dette afsnit er at bevise sætningen:
Et kommutativt felt med karakteristika, der ikke er nul, er perfekt, hvis og kun hvis dets Frobenius-endomorfisme er overvejende.
hvorfra der udledes følgende resultat på grund af det faktum, at Frobenius-endomorfismen af ethvert endeligt felt er surjectiv (denne endomorfisme er veldefineret, fordi et sådant felt er kommutativt ifølge Wedderburn-sætningen ):
Enhver færdig krop er perfekt.
Før vi begrænser os til tilfældet med et felt, kan vi bemærke, at for enhver kommutativ ring A med karakteristisk et primtal p , har ringen A [ X ] også karakteristik p . Den endomorfien FROB A [ X ] er derfor defineret (og injektiv hvis A er integral). Dens billede består af polynomer med formen Q ( X p ) med Q polynom med koefficienter i billedet af Frob A , da
Antag nu, at A er et kommutativt felt med karakteristikken p > 0.
Frobenius automorfi tillader bestemmelse af alle unitære polynomier med irreduktible koefficienter i F p og af grad mindre end eller lig med n . Dette er de minimale polynomer over F p af elementerne i det endelige felt F q med q = p n . Hver minimale polynomium af et element F q vises én gang og kun én gang i polynomiet X q - X . Følgelig deler ethvert irreducerbart polynomium andet end X et cyklotomisk polynom . Sættet af konjugater af et element af F q er bane af dette element under aktion af Frobenius gruppe.
Det bliver derefter muligt at bestemme nøjagtigt antallet af irreducerbare enhedspolynomer af grad n . Blandt dem, de primitive polynomier, dvs. hver rod, som er en generator for det multiplikative gruppe F q *, er φ ( q - 1) / n , hvor φ betegner Euler indicatrix .