Kvadratisk lukket krop

I algebra er et kvadratisk lukket felt et kommutativt felt , hvor hvert element har en kvadratrod .

Eksempler

• Ethvert algebraisk lukket felt lukkes kvadratisk.
• Den kvadratiske lukning af et legeme (se eksempler nedenfor) er - pr. Definition - kvadratisk lukket.

Ejendomme

For ethvert felt F er følgende egenskaber ækvivalente:

• F er kvadratisk lukket;
• dets u -variant  (en) er lig med 1, dvs. enhver kvadratisk form på F med dimension > 1 er isotrop  ;
• dens Witt-Grothendieck-ring er isomorf til ℤ af dimensionen morfisme ;
• dets Witt-gruppe er af orden 2.

Ethvert kvadratisk lukket felt er både pythagoræisk og ikke formelt rigtigt, men det omvendte er falsk (tænk på felter med karakteristik 2).

Lad E / F være en endelig udvidelse med E kvadratisk lukket. Derefter er enten -1 en firkant i F, og F er kvadratisk lukket, eller -1 er ikke en firkant i F, og F er euklidisk (dette er en konsekvens af Diller-Dress-sætningen ).

Kvadratisk hegn

For krop F , der er en "  mindre  " kvadratisk tæt forlængelse af F . Denne udvidelse, som er unik for isomorfi , kaldes "den" kvadratiske lukning af F . Vi kan konstruere det som et underfelt af "den" algebraiske lukning F alg af F ved at tage foreningen af alle drejninger af kvadratiske udvidelser på F i F alg . Når karakteristikken for F er forskellig fra 2, er det derfor foreningen af ​​de 2 endelige udvidelser af F i F alg , det vil sige alle Galois-udvidelser med grad svarende til en styrke på 2.

For eksempel :

• den kvadratiske lukning af ethvert euklidisk felt F er den kvadratiske forlængelse F ( √ −1 ) (den er algebraisk lukket, hvis og kun hvis F er virkelig lukket );
• den kvadratiske lukning af det endelige felt F 5 er - i sin algebraisk lukke, som er foreningen af F 5 m for ethvert naturligt tal m - foreningen af F 5 (2 n )  ;
• den kvadratiske lukning af ℚ er - i ℚ - underfeltet af konstruktive komplekse tal .

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen "  Quadratically closed field  " ( se listen over forfattere ) .

1. (i) Tsit-Yuen Lam , Introduktion til kvadratisk form over marker , AMS , al.  "Graduate Studies in Mathematics" ( nr .  67),2005( ISBN  978-0-8218-7241-3 , læs online ) , s.  33.
2. Lam 2005 , s.  34.
3. Lam 2005 , s.  270 .
4. Lam 2005 , s.  220.