Orden (gruppeteori)

I gruppeteori , en gren af matematik , bruges udtrykket rækkefølge i to nært beslægtede sanser:

Den rækkefølge af en gruppe er kardinaliteten af dens underliggende sæt. Gruppen siges at være endelig eller uendelig afhængigt af om dens rækkefølge er endelig eller uendelig.
Hvis et element har en gruppe G genererer i G en undergruppe ( monogen ) endelig rækkefølge d , siger vi, at a har endelig rækkefølge og specifikt rækkefølge d . Hvis undergruppen genereret af a er uendelig, siger vi, at a er af uendelig rækkefølge. Hvis en er af endelig orden, dens orden er den mindste strengt positivt heltal m , således at en m = e (hvor e betegner neutrale element i gruppen, og hvor en m betegner produktet af m elementer lig med en ).

Rækkefølgen for en gruppe G bemærkes ord ( G ), | G | eller # G , og rækkefølgen af et element a er skrevet ord ( a ) eller | a |.

Eksempler

I Rubiks tertegruppe

Den Rubiks terning illustrerer begrebet orden af et element i en gruppe, hvor vi opdage i en meget elementær praksis af terning mange bevægelser af forskellige ordrer (2, 3, 4, 6, ...).

Cykliske grupper

I den uendelige cykliske gruppe ℤ er ethvert element, der ikke er nul, i uendelig rækkefølge.

Bemærk: udtrykket cyklisk er undertiden forbeholdt begrænsede grupper. I dette tilfælde siges ℤ at være monogen.

I en finit cyklisk gruppe ℤ / n ℤ med n > 0, rækkefølgen af klassen k modulo n af et helt tal k er n / GCD ( n , k ).

Symmetrisk gruppe S 3

Den symmetriske gruppe S 3 (en) = D 6 , bestående af alle de permutationer af tre objekter, har den følgende multiplikationstabel :

•	e	s	t	u	v	w
e	e	s	t	u	v	w
s	s	e	v	w	t	u
t	t	u	e	s	w	v
u	u	t	w	v	e	s
v	v	w	s	e	u	t
w	w	v	u	t	s	e

Denne gruppe har seks elementer, så ord (S 3 ) = 6.

Per definition er rækkefølgen af det neutrale element, e , 1. Hver kvadrat af s , t og w er lig med e , så disse elementer i gruppen er af rækkefølge 2. Ved at fuldføre optællingen er u og v begge i rækkefølge 3, fordi u 2 = v , u 3 = vu = e , v 2 = u og v 3 = uv = e .

Gruppestruktur

Rækkefølgen af en gruppe og rækkefølgen af dens elementer giver information om gruppens struktur. Uformelt, jo mere kompliceret opdeling af ordren er, jo mere er gruppen.

Den eneste gruppe af orden 1 (op til isomorfisme ) er den trivielle gruppe .

Det eneste element i rækkefølge 1 i en gruppe er det neutrale element.

Et element er af rækkefølge 2, hvis og kun hvis det er lig med dets inverse og forskelligt fra det neutrale element.

En gruppe, hvor hvert element er af orden 2 (undtagen det neutrale element), er abelisk, da det i en sådan gruppe er

{\ displaystyle ab = (ab) ^ {- 1} = b ^ {- 1} a ^ {- 1} = ba.}

Forbindelse mellem de to begreber

Rækkefølgen af et element a er lig med rækkefølgen af undergruppen genereret af a , hvilket er

{\ displaystyle \ langle a \ rangle = \ {a ^ {k} \ mid k \ in \ mathbb {Z} \}.}

Rækkefølgen af et element af G opdeler rækkefølgen af gruppen G (f.eks symmetriske gruppe S 3 ovenfor er af orden 6, og ordrerne fra dens elementer er 1, 2 eller 3). Mere generelt sikrer Lagranges sætning , at rækkefølgen af en hvilken som helst undergruppe H af G deler rækkefølgen af G (heltal ord ( G ) / ord ( H ), betegnet [ G : H ], kaldes indekset for H i G ).

Følgende delvise omvendte er sandt, hvis G er en endelig gruppe : Cauchys sætning forsikrer, at hvis p er et primtal, der deler rækkefølgen af G , så findes der i G et element af orden p (betingelsen om, at p er først, er essentiel: for eksempel har Klein-gruppen ikke et element af rækkefølge fire). Vi kan bruge denne sætning til at vise, at en begrænset gruppe er en p- gruppe (hvoraf hvert element har en rækkefølge på magten p ), hvis og kun hvis dens rækkefølge er en styrke med primtalet p .

Bestilling af et produkt

Hvis en er af uendelig orden, så alle kræfter en er også af uendelig orden. Hvis a er af endelig orden, har vi følgende formel for rækkefølgen af beføjelserne til a :

{\ displaystyle {\ mbox {ord}} (a ^ {k}) = {\ frac {{\ mbox {ord}} (a)} {{\ mbox {pgcd}} ({\ mbox {ord}} ( a), k)}}}

for hvert heltal k . Især er heltalene k således, at a k = e er multipla af rækkefølgen af a (som karakteriserer rækkefølgen af a ), og omvendt af a er i samme rækkefølge som a .

Der er ingen generel formel, der relaterer ordren på et produkt ab til ordren på a og b . Det er endda muligt, at a og b begge er af endelig orden, mens ab er af uendelig rækkefølge, eller at a og b begge er af uendelig rækkefølge, mens ab er af endelig orden.

Hvis a og b pendler , kan vi i det mindste sige, at rækkefølgen af ab opdeler PPCM for rækkefølgen af a og b, og at hvis ord ( a ) og ord ( b ) er coprime, er det endda lig med produktord ( a ) × ord ( b ).

Dette gør det muligt at bygge, fra to elementer a og b, der pendler, et element, hvis rækkefølge er PPCM for ordren til a og b , hvilket beviser, at sæt af ordrer for elementerne i en abelsk gruppe er stabilt af PPCM. En konsekvens er, at hvis eksponenten for en abelsk gruppe er endelig, er den lig med rækkefølgen af et af elementerne i gruppen. For begrænsede ikke-abelske grupper har vi ikke denne egenskab (se f.eks. " Landau-funktion ").

Andre egenskaber

I en endelig gruppe, for ethvert heltal d > 0, er antallet af elementer i rækkefølge d produktet af antallet (muligvis nul) af undergrupper af orden d af Euler- indikatoren φ ( d ) - ifølge hyrdernes lemma - og ligeledes i en uendelig gruppe, hvor antallet af undergrupper af rækkefølge d derefter er i stand til at være uendelig. For eksempel i tilfælde af S 3 er φ (3) = 2, og vi har nøjagtigt to elementer i rækkefølge 3. Teoremet giver ikke nyttige oplysninger om elementer i rækkefølge 2, fordi φ (2) = 1.
Gruppe morfier tendens til at reducere ordrer af elementerne:
- Hvis f: G → H er en morfisme, og a er et element af G af endelig orden, så deler ord ( f ( a )) ord ( a ). For eksempel er den eneste morfisme h : S 3 → Z / 5 Z nulmorfismen, fordi hvert tal undtagen nul i Z / 5 Z er af rækkefølge 5, som ikke deler rækkefølgen 1, 2 og 3 af elementerne i S 3 .
- Hvis f er injektiv , så er ord ( f ( a )) = ord ( a ). Dette gør det muligt at vise, at to konjugerede elementer har samme rækkefølge og desuden ofte kan bruges til at demonstrere, at der ikke er nogen injektionshomomorfisme mellem to givne grupper.
Et vigtigt resultat ved ordrer er klasseligningen ; det relaterer rækkefølgen af en endelig gruppe G til rækkefølgen af dens centrum Z ( G ) og størrelsen af dens ikke-trivielle konjugationsklasser : $| G | = | Z (G) | + \ sum _ {i} d_ {i},$ hvor d i er størrelsen på de ikke-trivielle konjugationsklasser; disse størrelser er ikke-trivielle delere af | G | fordi de er lig med indekserne for visse ikke- trivielle undergrupper af G (i den forstand: adskiller sig fra G og fra den trivielle gruppe ). For eksempel er midten af S 3 kun den trivielle gruppe, og ligningen lyder: | S 3 | = 1 + 2 + 3.
The Burnside problem 1902 involverer begreberne størrelsesordenen en gruppe og dens elementer; nogle af disse spørgsmål er stadig åbne. ( Burnsides sætning fra 1905 giver et første svar.)

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Order (group theory) " ( se forfatterlisten ) .

Definitioner i overensstemmelse med N. Bourbaki , Algebra : kapitel 1 til 3 , Paris,1970, s. I.29.
Definitioner i overensstemmelse med Bourbaki , s. I.49.
En gruppe lov generelt betegnet med multiplikation. Additiv notation er forbeholdt abeliske grupper . I dette tilfælde erstattes ligningen a m = e med ma = 0.
Se f.eks problem 5, i linket nedenfor til øvelserne korrigeret på Wikiversity .
(i) Joseph Gallian, Moderne abstrakt algebra , Cengage Learning ,2012( læs online ) , s. 85.