Bue krumning

I det metriske undersøgelse af kurver i plan og rum , krumning måler, hvor langt en kurve, eller geometrisk bue, lokalt bevæger sig bort fra en ret linie. Det evaluerer forholdet mellem variationen i retningen af tangenten til kurven og en forskydning af en uendelig længde på denne: jo mere dette forhold er vigtigt, jo mere er krumningen vigtig. På billedsprog angiver krumning, hvor meget en bils rat skal drejes for at komme ind i en drejning (rattet drejes moderat for en svag krumning og skarpt for en stærk krumning).

Mere præcist, hvis $Γ$ er en regelmæssig kurve i klasse $C k$ med $k \geq 2$ - dvs. en kurve, der er parametreret af en funktion, der kan differentieres mindst to gange, hvis første derivat aldrig er nul, og hvis derivat sekund er kontinuerlig, ved vi, at $Γ$ lokalt har en normal parametrisering, det vil sige, at der i nærheden af et punkt M findes en funktion $g$ parametrisering $Γ$ og sådan, at $|| g '|| = 1$ . Hvis $g ( s ) = M$ , er krumningen af $Γ$ i punkt M: ${\ displaystyle \ gamma = || g '' (s) ||}$

Hvis krumningen ved punkt M ikke er nul, giver dens inverse radius for den osculerende cirkel , dvs. radius for cirklen nærmest kurven ved punkt M.

I tilfælde af en orienteret plankurve i et orienteret plan kan vi definere en algebraisk krumning , som ikke kun indikerer krumningens intensitet, men også dens retning. For at genoptage billedet af vejen i et plan orienteret i den trigonometriske retning indikerer en positiv algebraisk krumning, at det er nødvendigt at dreje rattet til venstre for at nærme sig bøjningen. Den algebraiske krumning er knyttet til kurvens retning, det vil sige dens kørselsretning: hvis det for en chauffør er nødvendigt at dreje til venstre for at nærme sig en bøjning, for biler, der kører i den modsatte retning, er det nødvendigt at dreje til højre at komme ind i den samme bøjning.

Hvis $g$ er en normal parameterisering af $exists$ , for alle $s$ eksisterer der en enhedsvektor $n ( s )$ således at $( g '( s ), n ( s ))$ er en direkte ortonormal basis af planet, og der findes en reel funktion $γ$ således, at for alle $s$ , $g "(s) = γ ( s ) n ( s )$ . Værdien $γ ( s )$ er den algebraiske krumning af buen orienteret ved punktet $M = g ( s )$

Den absolutte værdi af den algebraiske krumning giver den geometriske krumning.

I tilfælde af en venstre kurve (det vil sige ikke plan) er det ikke muligt at definere en algebraisk krumning.

Elementær geometri tilgang

Under bevægelsen af et mobilt punkt er det muligt at følge udviklingen af tangenten ved hjælp af vinklen $α, der er$ lavet af denne tangent, med en fast retning. Krumningen måler variationen i vinklen $α i$ forhold til den tilbagelagte længde. Eksemplet på cirklen, som kan behandles med et elementært geometrisk argument, tjener som en model til at introducere krumningen af en mere kompleks bevægelse, graf eller parametreret bue.

Cirkelhus

Under enhver bevægelse på en cirkel med radius R, længden rejste er $Δ S$ , ændringen i retning af tangenter måles ved vinklen $Δ a$ mellem tangenterne på udgangspunktet og ved slutpunktet. Denne vinkel er vinklen i midten mellem slutpunktet og startpunktet. Vi har således forholdet: $Δ α = Δ S / R$ Rapporten $a a / Δ S$ er konstant og lig med 1 / R. Det er uafhængigt af start- og slutpunkterne, men også af rutetilstanden ( ensartet bevægelse eller ej). Dette kaldes krumningens krumning. Jo større radius, jo mindre er denne krumning.

Ideen er at betragte en kurve lokalt som en cirkel og finde grænsen for det foregående forhold for en uendelig lille forskydning på kurven.

Tilfælde af grafen for en funktion

Overvej et plan forsynet med et ortonormalt koordinatsystem (0, x , y ) og en bue defineret som grafen for en funktion ƒ, det vil sige defineret ved ligningen y = ƒ ( x ).

Hvis denne lysbue er "tilstrækkelig glat", indrømmer den på et hvilket som helst punkt x en tangens, og hældningen af tangenten er derivatet på dette punkt, ƒ '( x ).

Hvis denne bue er en linje, er tangenten den samme overalt, ƒ 'er konstant. Hvis denne bue har en ikke-nul krumning, er det fordi den afviger fra begrebet en lige linje: dens afledte varierer. Intuitivt ser vi, at jo mere buen er buet, jo mere varierer afledningen “hurtigt”.

Vi kan således forbinde krumningen med variationen af derivatet og derfor til det andet derivat .

Hvis man søger at kvantificere denne krumning, skal man være interesseret i de uendelige minimale variationer i tangensvinklen og buelængden. Tangenten til kurven gør med x-aksen en vinkel $α ( x ) = arctan ( f '( x ))$ . For en uendelig minimal variation $d x$ opnår vi

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ alpha (x) = {\ frac {f '' (x)} {1 + f '^ {2} (x)}} \ mathrm {d} x}$
${\ displaystyle \ mathrm {d} s (x) = {\ sqrt {1 + f '^ {2} (x)}} \ mathrm {d} x}$

Den algebraiske krumning gives derefter ved forholdet mellem disse to variationer

${\ displaystyle \ gamma (x) = {\ frac {f '' (x)} {(1 + f '^ {2} (x)) ^ {3/2}}}}$

Begrebet "tilstrækkelig glat" er vildledende. Overvej bundkurven modsat. Dens afledte er den midterste kurve, en savtandskurve. Dens andet derivat er den øverste kurve, en firkantet bølge . Vi ser, at lokalt - ved x = 1, x = 2, ... - kan vi ikke definere et andet derivat, da dette er værd -1 på den ene side og +1 på den anden side af punktet. Lokalt har buen derfor en ubestemt krumning.

Algebraisk krumning af en orienteret planbue

Overvej en parametriseret klasse bue i den orienterede euklidiske plan , antages at være regelmæssig (med et derivat vektor, som er aldrig nul). Vi kan vælge en oprindelse og tage den tilsvarende krumme linie som parameter som parameter . Dette er en normal indstilling (hastigheden er konstant standard lig med 1), hvilket gør det muligt let at definere Frenet-koordinatsystemet : ${\ mathcal {C}} ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ $s$ ${\ vec {M}} (s)$

oprindelse: punkt ${\ vec {M}} (s)$
første vektor: enhedens tangentvektor , ${\ vec {T}} (s) = {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} s}} (s)$
anden enheds normale vektor, der udfylder den første på en direkte ortonormal basis ${\ vec {N}}$

Krumningen indført fra accelerationen

Enhedens tangensvektor, der har en konstant norm, en beviser, at dens afledte altid er ortogonal for ham:

\ forall s \ i I, \ \ | {\ vec {T}} (s) \ | ^ {2} \ = \ 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ forall s \ i I, \ {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {T}}} {{\ mathrm {d}} s}} (s) \ \ cdot \ {\ vec {T}} (s) \ = \ 0.

Der er derfor en funktion γ, kaldet algebraisk krumning , sådan at

{\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {T}} (s)} {{\ mathrm {d}} s}} \ = \ \ gamma (s) \ {\ vec {N}} ( s) = {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {2}}} (s).

Ved normal parameterisering er accelerationsvektoren derfor normal (kollinær med enhedens normale vektor), og krumningen er dens koordinat i henhold til enhedens normale vektor.

Krumningstegnet informerer om kurvens konkavitet , det vil sige halvplanet af grænsen til tangenten og lokalt indeholdende kurven. Hvis krumningen er strengt positiv, peger den anden vektor af basen af Frenet mod kurvens konkavitet, hvis krumningen er streng negativ, er det modsatte af den anden vektor, der peger mod kurvens konkavitet.

Tilfælde af enhver indstilling

I enhver indstilling kan krumningen også opnås ud fra hastigheden og accelerationen ved hjælp af formlen

\ gamma (t) = {\ frac {\ det \ left ({\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} t}} (t), { \ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} t ^ {2}}} (t) \ right)} {\ left \ | { \ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} t}} (t) \ right \ | ^ {3}}}

(hvor $det$ betegner det blandede produkt ).

Denne formel viser, at et punkt er dobbeltreguleret, hvis krumningen på dette punkt er ikke-nul.

Krumningen ses som Frenet-referencerammens rotationshastighed

For fuldstændigt at bestemme vektorerne på Frenet-basen er en vinkelparameter α tilstrækkelig, hvilket er mere formelt vinkellejet, og som altid kan defineres for en tilstrækkelig regelmæssig kurve, hvilket giver vinklen mellem T og den første vektor af den faste base ( vektor af abscissen)

\ alpha = \ widehat {(i, T)} \ qquad {\ hbox {eller stadig}} \ qquad T = {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha \\\ sin \ alpha \ end {pmatrix}} \ qquad N = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ alpha \\\ cos \ alpha \ end {pmatrix}}

Denne parameter α fortolkes derfor som vinklen dannet af Frenet-basen med en fast retning.

Det er derefter fornuftigt at tage vinklen α for parameteren og udlede elementerne i Frénet-koordinatsystemet sammenlignet med α. I det mindste i matematik er det nødvendigt at validere denne operation. Vi viser, at hvis buen er dobbeltreguleret (dvs. første og anden afledte vektorer er aldrig kollinære), er det muligt at gøre vinklen a til en regelmæssig funktion, der reparerer buen og således differentiere med hensyn til α. Den tilsvarende diskussion kan findes i artiklen om løftesætningen .

I denne indstilling opnås vektoren N enten ved at udføre en rotation på (kvart omgang i direkte retning) eller ved at tilføje til α eller endda ved at differentiere med hensyn til α $\ frac \ pi {2}$ $\ frac \ pi {2}$

N = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ alpha \\\ cos \ alpha \ end {pmatrix}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} T} {{\ mathrm {d}} \ alpha} } \ qquad T = - {\ frac {{\ mathrm {d}} N} {{\ mathrm {d}} \ alpha}}

Afledningsformlerne for vektorerne T og N med hensyn til a er strengt identiske med afledningsformlerne for den mobile base i polære koordinater , da det er nøjagtig den samme situation.

Krumningen γ er derefter

\ gamma = {\ frac {{\ mathrm {d}} \ alpha} {{\ mathrm {d}} s}}

Det er således rotationshastigheden for basen af Frenet sammenlignet med en fast retning (igen, i normal parameterindstilling).

Geometrisk introduktion

Den dimensionelle analyse viser, at for et kinematisk problem er γ homogent med det omvendte af en længde. Derfor introducerer vi ofte krumningsradien (algebraisk)

R = {\ frac 1 \ gamma} = {\ frac {{\ mathrm {d}} s} {{\ mathrm {d}} \ alpha}}

For at forstå betydningen af denne størrelse er det interessant at undersøge det særlige tilfælde af en cirkel

{\ begin {cases} x (t) = r \ cos t \\ y (t) = r \ sin t \ end {cases}}

Anvendelse af krumningsberegningsformlen giver R = r .

Mere generelt for enhver biregular bue ved punktet P af krum abscisse s , er det vist, at der er en enkelt cirkel, der ”matcher denne kurve bedst muligt ” i et kvarter af P : den Osculerende cirkel . Det er tangent til kurven i P, og dens radius er lig med den absolutte værdi af krumningsradius. ${\ mathcal {C}} ^ {2}$

Den snoede beskriver krumningen af flere buer forbundet med vendepunkter .

Vend tilbage til positiv krumning

Den valgte konvention gør tidligere krumning og radius af krumning algebraiske størrelser. Hvis vi tager følgende konventioner:

krumningsradius er radius for den osculerende cirkel, den er altid positiv
krumningen er dens omvendte, den er altid positiv
vektoren er en enhedsvektor, der er normal i forhold til kurven ved punktet , orienteret mod midten af den osculerende cirkel. ${\ vec {N}}$ $M$

Hvis den algebraiske krumning er positiv, falder vi nøjagtigt tilbage på de tidligere konventioner. Ellers er krumning og krumningsradius de absolutte værdier for de algebraiske konventioner, og enhedens normale vektor er det modsatte af den algebraiske konvention. Den indbyggede base er ikke længere nødvendigvis en direkte base. Vi finder dog formlen

{\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec T}} {{\ mathrm {d}} s}} = \ gamma {\ vec N}

Med denne konvention angiver enhedens normale vektor i hvilken retning kurvens konkavitet drejes. Denne konvention giver kun mening, hvis krumningen ikke er nul. Ellers er enhedens normale vektor ikke defineret.

Formler

Definitionstilstand	Parameter og identifikation af punkt M	Algebraisk krumningsfunktion
Kurve	${\ displaystyle (x, f (x)) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {f ''} {\ left (1 + f '^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}$
Parametrisk	${\ displaystyle (x (t), y (t)) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {x'y '' - y'x ''} {\ left (x '^ {2} + y' ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}$
Parametreret polar	${\ displaystyle [\ rho (t); \ theta (t)] \,}$	${\ displaystyle {\ frac {\ rho \ rho '\ theta' '+2 \ rho' ^ {2} \ theta '- \ rho \ rho' 'theta' + \ rho ^ {2} \ theta '^ { 3}} {\ left (\ rho '^ {2} + \ rho ^ {2} \ theta' ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}$
Polar	${\ displaystyle [\ rho (\ theta); \ theta] \,}$	${\ displaystyle {\ frac {2 \ rho '^ {2} + \ rho ^ {2} - \ rho \ rho' '} {\ left (\ rho' ^ {2} + \ rho ^ {2} \ right ) ^ {3/2}}}}$
Implicit	$F (x, y) = 0 \,$	${\ vec \ nabla} \ cdot \ left ({\ frac {{\ vec \ nabla} F} {\ \| {\ vec \ nabla} F \ \|}} \ højre)$ ( divergens af den normaliserede gradient )

Krumning af en venstre bue

Generel definition

Overvej en parametriseret klasse bue i orienteret euklidisk rum , antages at være regelmæssig ; man kan igen tage parameteren den krumlinjære abscisse, og på det punkt kan man definere enhedens tangensvektor . I rummet er der imidlertid et uendeligt antal enhedsvektorer, der er vinkelrette på den tangente enhedsvektor. Ideen er at vælge en, der har samme retning som en vektor, som man ved er retvinklet til den første, og som det er tilstrækkeligt at dele med sin norm for at gøre det enhed. ${\ mathcal {C}} ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ ${\ vec {M}} (s)$ ${\ vec {T}} (s) = {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} s}} (s)$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}}}$

Vi definerer krumningen ved punktet som ${\ vec {M}} (s)$ ${\ displaystyle \ gamma (s) = \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}} \ right \ | = \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ vec {M}}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} (s) \ højre \ |}$

Hvis kurven er bi-regelmæssig, er krumningen ikke-nul. Vi kan derefter definere den anden vektor af Frenet-basen som: ${\ displaystyle {\ vec {N}} (s) = {\ frac {1} {\ gamma (s)}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}}}$

Krumningsradien er derefter lig med krumningens invers.

Beregning for enhver indstilling

I praksis, hvis vi betragter en parametreret kurve , er krumningen normen for vektoren , hvor er den krumme linie defineret af , hvor vi betegner og . ${\ mathbf {r}} (t)$ ${\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {2}}}$ $s$ $s (t) \ driekantq \ int _ {{\ tau = t_ {0}}} ^ {{\ tau = t}} \ venstre \ | {\ dot {{\ mathbf {r}}}} (\ tau) \ right \ | {\ mathrm {d}} \ tau$ ${\ dot {{\ mathbf {r}}}} (t) \ triangleq {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} t}} (t )$ ${\ ddot {{\ mathbf {r}}}} (t) \ triangleq {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} t ^ {2}}} (t)$

Problemet skyldes derfor beregning : ${\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {2}}}$

${\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ left \ | {\ dot {{\ mathbf {r}}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} \ left ({\ ddot {{\ mathbf {r}}}} (t) - {\ frac { {\ dot {{\ mathbf {r}}}} (t)} {\ left \ | {\ dot {{\ mathbf {r}}}} (t) \ right \ |}} {\ frac {{\ mathrm {d}} \ left \ | {\ dot {{\ mathbf {r}}}} (t) \ right \ |} {{\ mathrm {d}} t}} \ right)$

Vi kan også skrive denne formel som følger:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} (t) = {\ frac {1} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} \ left ({\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) - {\ frac {\ langle {\ prik {\ mathbf {r}}} (t) \ mid {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) \ rangle} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} {\ dot {\ mathbf {r} (t)}} \ right)}$

hvor betegner punktproduktet mellem en vektor og en vektor . $\ langle {\ mathbf {a}} \ mid {\ mathbf {b}} \ rangle$ ${\ mathbf {a}}$ $\ mathbf {b}$

Hvis vi bemærker det

${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {m} = {\ frac {1} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {2}}} {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t)}$
${\ displaystyle {\ vec {T}} _ {m} = {\ frac {1} {\ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ |}} {\ dot { \ mathbf {r}}} (t)}$ (enhedsvektor af tangenten)

Formlen er skrevet: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} = {\ vec {V}} _ {m} - \ langle {\ vec {V}} _ {m} \ mid {\ vec {T}} _ {m} \ rangle {\ vec {T}} _ {m}.}$

Dette gør den vinkelrette projektion af i hyperplanet vinkelret på vektoren . ${\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {2} {\ mathbf {r}}} {{\ mathrm {d}} s ^ {2}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {V}} _ {m}}$ ${\ displaystyle {\ vec {T}} _ {m}}$

Pythagoras sætning gør det derefter muligt at bestemme krumningen: ${\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ sqrt {{\ vec {V}} _ {m} ^ {2} - \ langle {\ vec {V}} _ {m} \ mid {\ vec {T }} _ {m} \ rangle ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {{\ ddot {\ mathbf {r}}} ^ {2} (t) {\ dot {\ mathbf {r}} } ^ {2} (t) - \ langle {\ ddot {\ mathbf {r}}} (t) \ mid {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ rangle ^ {2}}} { \ left \ | {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ right \ | ^ {3}}}.}$ I dimension tre kan krumningen udtrykkes ved følgende formel:

${\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ frac {\ left \ | {\ ddot {r}} (t) \ wedge {\ dot {r}} (t) \ right \ |} {\ left \ | {\ dot {r}} (t) \ right \ | ^ {3}}}}$

Tilfælde af en kurve tegnet på en overflade

På ethvert punkt M på en regelmæssig parametreret overflade Σ i et orienteret rum kan man definere en normal vektor til overfladen . For en klasse og regelmæssig parametrisk bue , inkluderet i overfladen Σ; vi kan igen tage den krumlinjære abscissa til parameter, og på det punkt kan vi definere ${\ displaystyle {\ vec {n}} _ {m}}$ ${\ mathcal {C}} ^ {2}$ ${\ displaystyle {M} (s)}$

den normale vektor på overfladen: ${\ displaystyle {\ vec {n}} (s)}$
enhedsvektoren tangenten: . ${\ vec {T}} (s) = {\ frac {{\ mathrm {d}} {\ vec {M}}} {{\ mathrm {d}} s}} (s)$
en tredje enhedsvektor, der sammen med de to andre danner et direkte ortonormalt grundlag: ${\ displaystyle {\ vec {g}} (s) = {\ vec {n}} (s) \ wedge {\ vec {T}} (s)}$

Koordinatsystemet er Darboux-koordinatsystemet for kurven ved punkt M (s). ${\ displaystyle (M (s); {\ vec {T}} (s), {\ vec {g}} (s), {\ vec {n}} (s))}$

Vektoren , vinkelret på , er derefter en lineær kombination af og . Der er derfor to funktioner $γ$ $g$ og $γ$ $n$ , henholdsvis kaldet geodesisk krumning og normal krumning, således at ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {T}} (s)}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}} (s)}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} (s)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {T}} (s)} {\ mathrm {d} s}} \ = \ \ gamma _ {g} (s) \ {\ vec {g }} (s) + \ \ gamma _ {n} (s) \ {\ vec {n}} (s)}

Bueens krumning ved punkt M gives derefter ved: ${\ displaystyle \ gamma (s) = {\ sqrt {\ gamma _ {g} ^ {2} (s) + \ gamma _ {n} ^ {2} (s)}}}$

Ud over den geometriske krumning tilvejebringer Darboux-koordinatsystemet også to algebraiske krumninger: den ene i retning mod overfladen, den anden i en retning placeret i planet tangent til overfladen og normal til tangenten til kurven. For at tage eksemplet med vejen sporet i bjergene på jordens overflade orienteret af en vektor modsat jordens tiltrækning definerer den geodesiske krumning $γ g$ krumningens amplitude i planet tangent til overfladen, c 'det vil sige , amplituden, hvormed rattet skal drejes, dets tegn fortsætter med at indikere, i hvilken retning rattet skal drejes (til venstre for et positivt tegn).

Noter og referencer

Johann Colombano, ” Visualisering af krumningen. Fra krumningsradien til Riemann-tensoren ”, images.math.cnrs.fr ,14. juni 2017( læs online )
Patrice Tauvel, Geometry: Aggregation. 2 th cyklus / Master , Paris, Dunod, coll. "Sup Sciences",2005, 532 s. ( ISBN 2-10-049413-9 ), s. 359 .
Pierre Lecomte, Kurver og overflader , Liège Universitet, Institut for Matematik, s. 36
Pierre Lecomte, Kurver og overflader , Universitetet i Liège, Institut for Matematik, s. 35
Tauvel 2005 , s. 360
Jacqueline Lelong-Ferrand og Jean-Marie Arnaudiès , Geometri og kinematik , Paris, Dunod,1977( ISBN 2-04-003080-8 ) s. 330
Lelong-Ferrand og Arnaudiès 1977 , s. 331
Tauvel 2005 , s. 354
Laurent Bessières, Kursus N1MA6011: Differentialgeometri , Institut for matematik i Bordeaux, år 2013/2014, s. 10 .
Pierre-Antoine Guihéneuf, metriske studier af kurver , Paris Sud University, s. 3