Jerusalem terning

Den Jerusalem Cube er en solid fraktal opdaget af Eric Baird. Dens konstruktion er tæt på den for Menger-svampen , men i modsætning til sidstnævnte er dens homothety-forhold ikke hel eller brøkdel, og hver iteration skaber autosimilarre elementer af rang n + 1 og n + 2. Det hedder det på grund af ligheden med Jerusalem-korset .

Formel definition

Lad homothety-forholdet være:

{\ displaystyle k = {\ sqrt {2}} - 1}

Lad være de otte oversættelsesvektorer til positionerne for de otte terninger af rang 1 ved den første iteration: $f_ {i}$

{\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {8} f_ {i} = {\ Bigl \ {} {\ bigl (} a (1-k), b (1-k), c (1-k ) {\ bigr)} {\ big /} a, b, c \ in \ {0,1 \} {\ Bigr \}}}

Lad de tolv oversættelsesvektorer være positionerne for de tolv kuber af rang 2 ved den første iteration: $g_ {j}$

{\ displaystyle \ bigcup _ {j = 1} ^ {12} g_ {j} = {\ Bigl \ {} {\ bigl (} a, b, c {\ bigr)} {\ big /} a, b, c \ in \ {0, k, 1-k ^ {2} \} {\ mbox {og nøjagtigt en af}} a, b, c {\ mbox {er værd}} k {\ Bigr \}}}

Oversættelsesoperationen af vektor v af et sæt C af punkter p er defineret af: ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ displaystyle T_ {v} (C) = {\ Bigl \ {} p + v {\ big /} p \ i C {\ Bigr \}} {\ mbox {hvor}} p + v {\ mbox {matcher til}} (p_ {0} + v_ {0}, p_ {1} + v_ {1}, p_ {2} + v_ {2})}

Operationen af homotitet i forholdet r for et sæt C af punkter p er defineret ved: ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ displaystyle H_ {r} (C) = {\ Bigl \ {} rp {\ big /} p \ i C {\ Bigr \}} {\ mbox {hvor}} rp {\ mbox {matches}} (rp_ {0}, rp_ {1}, rp_ {2})}

Lad enhedens terning være:

{\ displaystyle C_ {0} = {\ Bigl \ {} p = {\ bigl (} x, y, z {\ bigr)} \ in \ left [0,1 \ right] ^ {3} {\ mbox { i}} \ mathbb {R} ^ {3} {\ Bigr \}}}

Jerusalem-terningen af iteration n er defineret af:

{\ displaystyle C_ {n} = {\ Bigl \ {} \ bigcup _ {i = 1} ^ {8} T_ {f_ {i}} {\ bigl (} H_ {k} (C_ {n-1}) {\ bigr)} {\ Bigr \}} \ bigcup {\ Bigl \ {} \ bigcup _ {j = 1} ^ {12} T_ {g_ {j}} {\ bigl (} H_ {k ^ {2} } (C_ {n-1}) {\ bigr)} {\ Bigr \}}}

Jerusalem-terningen er endelig:

{\ displaystyle C = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} C_ {n}}

Det er også grænsen for, når n har tendens til uendelig, fordi vi har $C_ {n}$ ${\ displaystyle C_ {n} \ cap C_ {n-1} = C_ {n}}$

Konstruktion

Opbygningen af Jerusalem-terningen kan beskrives uden at forklare dens homothety-forhold:

Start med en terning.
Bor på hvert ansigt et kryds gennem hele terningen, så der i hjørnerne af den oprindelige terning holdes otte terninger af følgende rang (+1) og i forlængelsen af hver gren af korset en terning med rang +2, som s 'indsættes mellem kuberne på rang +1. Hver terning med rang +2 har en kant justeret og centreret på en af kanterne på den oprindelige terning. Forholdet mellem siderne af en terning med rang +1 til siderne af den oprindelige terning er lig med forholdet mellem siderne af terningerne af rang +2 til dem af rang +1, denne begrænsning bestemmer længden og bredden af grenene af korset.
Gentag operationen på terningerne af rang +1 og +2

Hver iteration på en terning tilføjer otte terninger af rang +1 og tolv terninger af rang +2, dvs. en multiplikation med tyve som for Menger-svampen, men med to forskellige terningsstørrelser.

Efter et uendeligt antal gentagelser er det opnåede faste stof Jerusalem-terningen.

Ejendomme

Homothety-forholdet for Jerusalem-terningens selvlignelighed beregnes ud fra observation af en af terningens ansigter. Vi får et irrationelt tal i modsætning til mange andre fraktaler, der har hele eller brøkforhold.

Denne specificitet indebærer, at terningen ikke kan bygges på basis af et gitter.

Dette irrationelle homøthetsforhold står i kontrast til den tilsyneladende enkelhed af terningens konstruktion, som ikke kræver andre vinkler end rette vinkler.