Hausdorff dimension

I matematik og mere præcist i topologi er Hausdorff-dimensionen i et metrisk rum ( X , d ) et positivt eller nul reelt tal, muligvis uendeligt. Indført i 1918 af matematikeren Felix Hausdorff , blev den udviklet af Abram Besicovich , hvorfor det undertiden omtales som dimensionen Hausdorff-Besicovich .

Det enkleste eksempel er det euklidiske rum med dimension (i betydningen vektorrum) lig med n (eller mere generelt et reelt vektorrum med dimension n forsynet med en afstand associeret med en norm ): dets Hausdorff-dimension d er også lig med n , dimension af vektorrummet. Hausdorff-dimensionen i ethvert metrisk rum er muligvis ikke et naturligt tal .

Uformel introduktion

I et euklidisk rum med dimension d har en kugle med radius r et volumen, der er proportionalt med . Intuitivt forventer vi derfor, at antallet N ( r ) af kugler med radius r, der er nødvendige for at dække en kugle med enhedsradius, er i størrelsesordenen . rd{\ displaystyle r ^ {d}}1/rd{\ displaystyle 1 / r ^ {d}}

Vi generaliserer denne opfattelse til ethvert kompakt metrisk rum X som følger. Lad N (r) antallet af minimum bolde åben radius r er nødvendige for at dække X . Hvis, når r nærmer sig 0, øges som , siges rummet X at have dimension d . Mere præcist vil d være det tal, der har en tendens til 0, hvis s > d , og har en tendens til uendelig, hvis s < d . IKKE(r){\ displaystyle N (r)}1rd{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {d}}}}IKKE(r)rs{\ displaystyle N (r) r ^ {s}}IKKE(r)rs{\ displaystyle N (r) r ^ {s}}

Definitioner

Desværre findes grænserne for mængderne N ( r ) rs, der er indført i det foregående afsnit, ikke altid. Denne vanskelighed kan omgås ved at gå frem som følger:

• Den plads X er dækket ved hjælp af en tællelig union af dele betegnet A i , som hver har en diameter mindre end r . Det faktum at bruge en forøgelse af diameteren gør det muligt at tage vilkårligt små dele, for eksempel hvis det drejer sig om at dække en tællbar del af X og således minimere rollen af ​​en sådan del i beregningen af ​​dimensionen af X . For eventuelle positive eller nul reelle s overvejer vi mængden . Mere præcist, der ønsker at have den mest økonomiske bedring muligt, introducerer vi mængden:∑jeg=1∞djegpåm(PÅjeg)s{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {diam} (A_ {i}) ^ {s}}Hrs(x)=infdjegpåm(PÅjeg)<r{∑jeg=1∞djegpåm(PÅjeg)s|x⊆⋃jeg=1∞PÅjeg}.{\ displaystyle H_ {r} ^ {s} (X) = \ inf _ {\ mathrm {diam} (A_ {i}) <r} {\ left \ {\ left. \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {diam} (A_ {i}) ^ {s} \ right | X \ subseteq \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right \}}.}
• Funktionen er faldende , hvilket sikrer eksistensen af ​​en grænse (muligvis uendelig), når vi får r til at gå mod 0. Derfor er definitionen:r↦Hrs{\ displaystyle r \ mapsto H_ {r} ^ {s}}Hs(x)=limr→0Hrs(x).{\ displaystyle H ^ {s} (X) = \ lim _ {r \ rightarrow 0} H_ {r} ^ {s} (X).}H s kaldes s-dimensionelt Hausdorff-mål .
• Vi kontrollerer, at hvis H s ( X ) er endelig, så for alle t > s , H t ( X ) = 0, og at hvis H s ( X )> 0, for alle t < s , er H t ( X ) uendelig. Der er derfor en række adskille numrene s for hvilke H s ( X ) = 0 fra dem, for hvilke H s ( X ) er uendelig. Dette nummer er Hausdorff dimension X . Så vi spørger SolH⁡(x)=inf{s∣Hs(x)=0}=sup{s∣Hs(x)=∞}{\ displaystyle \ dim _ {H} (X) = \ inf \ left \ {s \ mid H ^ {s} (X) = 0 \ right \} = \ sup \ left \ {s \ mid H ^ {s } (X) = \ infty \ right \}} ;

Hausdorff-målingen af X for denne dimension ,, som alene muligvis hverken er nul eller uendelig, bemærkes ofte enkelt og kaldes Hausdorff-mål for X uden yderligere præcision; for "temmelig enkle" undergrupper af er det proportionalt med Lebesgue-foranstaltningen . HSolH⁡(x)(x){\ displaystyle H ^ {\ dim _ {H} (X)} (X)}H(x){\ displaystyle H (X)}Rikke{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Ejendomme

• Hvis X er inkluderet i , så .(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,}SolH⁡x≤SolH⁡Y{\ displaystyle \ dim _ {H} {X} \ leq \ dim _ {H} {Y}}
• Hausdorff-dimensionen af ​​et produkt af metriske rum er større end eller lig med summen af ​​Hausdorff-dimensionerne. Eksplicit for alle metriske rum og har vi:(x,Dx){\ displaystyle (X, D_ {X}) \,}(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,} SolH⁡(x×Y)≥SolH⁡x+SolH⁡Y{\ displaystyle \ dim _ {H} {\ left (X \ times Y \ right)} \ geq \ dim _ {H} {X} + \ dim _ {H} {Y}}.
• Hvis X er inkluderet i , er dens Hausdorff-dimension mindre end eller lig med n .Rikke{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
• Hvis X er en tællelig forening af dele, hele dimensionen mindre end eller lig med n , så . Især Hausdorff-dimensionen i et tællbart metrisk rum er nul.SolH⁡x≤ikke{\ displaystyle \ dim _ {H} {X} \ leq n}
• En Lipschitzian-applikation mindsker Hausdorff-dimensionen. Mere generelt, hvis er en - Höldérien- funktion mellem metriske mellemrum (med ), så har vi:f:x→Y{\ displaystyle f: X \ rightarrow Y \,}på{\ displaystyle a \,}0<på<1{\ displaystyle 0 <a <1 \,} SolH⁡(f(x))≤1påSolH⁡(x){\ displaystyle \ dim _ {H} \ left (f (X) \ right) \ leq {\ frac {1} {a}} \ dim _ {H} (X) \,}.

Demonstration

Lad os være strengt positive, således at der findes en tællelig åben dækning med en diameter mindre end sådan, at: pås>SolH⁡x{\ displaystyle as> \ dim _ {H} {X} \,} {PÅjeg|∀jeg,PÅjeg⊂x}{\ displaystyle \ {A_ {i} | \ forall i, A_ {i} \ subset X \} \,}δ>0{\ displaystyle \ delta> 0 \,}

∑jegdiamxpås(PÅjeg)<ϵ{\ displaystyle \ sum _ {i} {{\ operatorname {diam} _ {X}} ^ {as} (A_ {i})} <\ epsilon}.

Som det er -Hölderian, findes der en konstant sådan, at den sender enhver del af og diameter til en del af og diameter sådan, at . Lad være et tilstrækkeligt lille åbent kvarter af . Vi kan antage, at diameteren i de er mindre end . Delenes diameter øges med . Ved konstruktion . Det følger: for . f{\ displaystyle f \,}på{\ displaystyle a \,}VS{\ displaystyle C \,}f{\ displaystyle f \,}PÅ{\ displaystyle A \,}(x,Dx){\ displaystyle (X, D_ {X}) \,}d=diamx⁡(PÅ){\ displaystyle d = \ operatorname {diam} _ {X} (A) \,}f(PÅ){\ displaystyle f (A) \,}(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,}d′=diamY⁡(f(PÅ)){\ displaystyle d '= \ operatorname {diam} _ {Y} (f (A))}d′≤VSdpå{\ displaystyle d '\ leq Cd ^ {a} \,}Bjeg{\ displaystyle B_ {i} \,}f(PÅjeg){\ displaystyle f (A_ {i}) \,}(Y,DY){\ displaystyle (Y, D_ {Y}) \,}Bjeg{\ displaystyle B_ {i} \,}VSdiamxpå⁡(PÅjeg){\ displaystyle C \ operatorname {diam} _ {X} ^ {a} (A_ {i}) \,}Bjeg{\ displaystyle B_ {i} \,}δ′=VSδpå{\ displaystyle \ delta '= C \ delta ^ {a} \,}∑jegdiamxs⁡(Bjeg)≤VSϵ{\ displaystyle \ sum _ {i} {\ operatorname {diam} _ {X} ^ {s} \ left (B_ {i} \ right)} \ leq C \ epsilon \,}Hs(f(x))=0{\ displaystyle H ^ {s} \ left (f (X) \ right) = 0 \,}pås>SolH⁡(x){\ displaystyle as> \ dim _ {H} (X) \,}

• Hausdorff-dimensionen er ikke en mængde, der er bevaret af homeomorfisme . For eksempel kan vi definere kantorsæt , der er homomorfe til hinanden, men med forskellige dimensioner. Men hvis både homeomorfismen og dens gensidige begge er lipschitzian, så er dimensionen bevaret (dette er en indlysende konsekvens af det foregående punkt). Ligeledes, hvis to målinger er Lipschitz-ækvivalente, så definerer de den samme Hausdorff-dimension.

Praktisk beregning i et klassisk bestemt tilfælde

Lad være en del af et ægte vektorrum , der opfylder følgende egenskab: x{\ displaystyle X}

”Der er ligheder af relationer sådanne, der er disjunkte to og to, og deres forening er isometrisk til . "ikke{\ displaystyle n} f1,f2,...,fikke{\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {n}}r1,r2,...,rikke{\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n}}f1(x),f2(x),...,fikke(x){\ displaystyle f_ {1} (X), f_ {2} (X), \ ldots, f_ {n} (X)}x{\ displaystyle X}

Vi har derefter forholdet:

r1d+r2d+...+rikked=1{\ displaystyle {r_ {1}} ^ {d} + {r_ {2}} ^ {d} + \ ldots + {r_ {n}} ^ {d} = 1},

hvor er dimensionen af . d{\ displaystyle d}x{\ displaystyle X}

Dette følger af følgende egenskaber ved Hausdorff-foranstaltninger:

"For hver positiv λ, . " Hd(λx)=λdHd(x){\ displaystyle H ^ {d} (\ lambda X) = \ lambda ^ {d} H ^ {d} (X)}

og invarians ved isometri .

Dette giver en enkel måde at beregne dimensionerne på klassiske fraktaler, såsom Koch-snefnug , Sierpinski-tæppe osv.

Eksempel

• Den Cantor ensemble består af to Cantor ensembler tre gange mindre; de to ligheder er derfor her homøthetisk i forholdet 1/3, sammensat med oversættelser.
  Så , hvad giver: .2(13)d=1{\ displaystyle 2 \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) ^ {d} = 1}d=ln⁡2ln⁡3=log3⁡2{\ displaystyle d = {\ frac {\ ln 2} {\ ln 3}} = \ log _ {3} 2}
• Det asymmetriske Cantor-sæt består af to Cantor-sæt, det ene to gange mindre, det andet fire gange mindre. De to ligheder er derfor her homotetier med de respektive forhold 1/2 og 1/4, sammensat med oversættelser.
  Så hvilket fører til: hvor er det gyldne forhold .(12)d+(14)d=1{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {d} + \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {d} = 1}d=ln⁡(φ)ln⁡2{\ displaystyle d = {\ frac {\ ln (\ varphi)} {\ ln 2}}}φ=1+52{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}

Eksempler

• Et tællesæt har nul dimension.
• Den cirkel har Hausdorff dimension 1.
• I er dimensionen af ​​et Lebesgue - målesæt, der ikke er nul, n .Rikke{\ displaystyle {\ mathbb {R} ^ {n}}}
• Grafen for en funktion af en Lipschitzian-reel variabel har Hausdorff-dimension 1. Hvis funktionen er a-Hölderian, er Hausdorff-dimensionen i dens graf mellem 1 og 2 - a.
• Hausdorff dimensionen af Cantor triade ensemblet er .ln⁡2ln⁡3 {\ displaystyle {\ frac {\ ln {2}} {\ ln {3}}} ~}
• Hausdorff-dimensionen i Sierpiński-trekanten er .ln⁡3ln⁡2 {\ displaystyle {\ frac {\ ln {3}} {\ ln {2}}} ~}
• Hausdorff-dimensionen af Sierpiński-tæppet er .ln⁡8ln⁡3 {\ displaystyle {\ frac {\ ln {8}} {\ ln {3}}} ~}
• Banen for den bruniske bevægelse i dimension 2 er næsten helt sikkert dimension 2.
• Den grænse af Mandelbrot sættet er af dimension 2.

Tillæg

Noter og referencer

1. (i) Mitsuhiro Shishikura, "  The Hausdorff dimension grænsen af Mandelbrot sæt og Julia sæt  ," Ann. af matematik. , flyvning. 147, 1998, s. 225-267 (original 1991-publikation Stony Brook IMS Preprint , arXiv : math.DS / 9201282 ).

Bibliografi

• (de) Felix Hausdorff, “Dimension und äusseres Mass”, Matematik. Ann. , bind 79, 1919, s.  157-179 [ læs online ]
• (en) Dierk Schleicher, "Hausdorff-dimensionen, dens egenskaber og dens overraskelser", Amer. Matematik. Månedligt , vol. 114, juni-juli 2007, s.  509-528 . “  Math / 0505099  ” , frit tilgængelig tekst, på arXiv .

Relaterede artikler

• Minkowski dimension
• Fraktal dimension
• Topologisk dimension
• Fraktal
• Lemma Frostman  (en)
• Liste over fraktaler efter Hausdorff-dimension

eksterne links

• En introduktion til forestillingen om Hausdorff-dimension i form af et problem
• En licensafhandling, der især handler om Hausdorff-dimensionen
• (en) IG Koshevnikova , "Hausdorff-dimension" , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , læs online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">