Hasse-diagram
I matematik er Hasse-diagrammet , opkaldt efter den tyske matematiker Helmut Hasse , en visuel repræsentation af en endelig orden. Svarende til den sædvanlige gengivelse af en graf på papir gør det det lettere at forstå.
I et Hasse-diagram:
- Ordnede elementer er repræsenteret af prikker.
- Forholdet mellem to elementer er repræsenteret af et segment mellem to punkter.
- Hvis et element x er ≤ til et andet element y , placeres det punkt, der repræsenterer x, lavere end det for y . Således behøver segmenterne ikke at blive pilet for at få deres orientering beskrevet.
- For at undgå overbelastning af diagrammet er de mulige ordrerelationer ikke alle repræsenteret. De er begrænset til transitiv refleksiv reduktion:
- Når x <y , hvis der findes z sådan, at x <z <y , skal intet segment forbinde x til y .
- Sløjfer fra et element til sig selv vises ikke.
- Vi passer så meget som muligt på ikke at krydse segmenterne.
Bemærk, at i tilfælde af uendelig rækkefølge kan vi stadig bruge Hasse-diagrammet og repræsentere en begrænset begrænsning af ordren.
Eksempler på Hasse-diagram
- Et ordnet sæt med elleve elementer, hvis tre maksimum er de tre øvre grænser, og minimumselementet er både den unikke nedre grænse og den nedre grænse for sættet.
- For sættet med divisorer på 60, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, ordnet efter delingsforholdet, får vi Hasse-diagrammet som følger:
- Sættet S = A ∪ B ∪ C ∪ D, hvor A, B, C og D er firdobler af boolere, der repræsenterer de mulige kombinationer af delene af S, således at,
B = { 0100 = {b}, 1100 = {a, b}, 0110 = {b, c}, 0101 = {b, d}, 1110 = {a, b, c}, 1101 = {a, b, d}, 0111 = {b, c, d}, 1111 = {a, b, c, d}}
C = { 0010 = {c}, 1010 = {a, c}, 0110 = {b, c}, 0011 = {c, d}, 1110 = {a, b, c}, 1011 = {a, c, d}, 0111 = {b, c, d}, 1111 = {a, b, c, d}}
D = { 0001 = {d}, 1001 = {a, d}, 0101 = {b, d}, 0011 = {c, d}, 1101 = {a, b, d}, 1011 = {a, c, d}, 0111 = {b, c, d}, 1111 = {a, b, c, d}} S = { 0000 = {}, 1000 = {a}, 0100 = {b}, 0010 = {c}, 0001 = {d}, 1100 = {a, b}, 1010 = {a, c}, 1001 = {a, d}, 0110 = {b, c}, 0101 = {b, d}, 0011 = {c, d}, 1110 = {a, b, c}, 1101 = {a, b, d}, 1011 = {a, c, d}, 0111 = {b, c, d}, 1111 = {a, b, c, d}}
Således får vi fra de seksten firdobler bestilt af inklusionsforholdet følgende Hasse-diagram:
 |
 |
 |
|
Disse fire figurer repræsenterer alle det samme Hasse-diagram, men under forskellige aspekter for at demonstrere forskellige egenskaber:
- Det første diagram illustrerer det faktum, at sæt af dele (af S ) er et delvist ordnet gradueret sæt: rangen for hvert element (del af S ) svarer til dets højde i diagrammet;
- Det andet diagram respekterer også denne korrespondance mellem rang og højde, men tilføjer det ved at strække visse kanter en forbedring af tesserakten som en union af to terninger (ved at fortolke de boolske firdobler som koordinater i dimension 4, der hver svarer derefter til en top af hypercube);
- Det tredje diagram fremhæver strukturens interne symmetri;
- Det fjerde diagram viser hjørner arrangeret analogt med koefficienterne i en firkantet matrix af rækkefølge 4.