Terning

Terning


Type	Platonisk faststof
Ansigter	6 firkanter
Kanter	12
Hjørner	8
Ansigter / toppunkt	3
Funktion	2

Schläfli-symbol	{4.3}
Wythoff symbol	3
Coxeter-Dynkin-diagram
Dobbelt	Regelmæssig oktaeder
Symmetri gruppe	O h
Bind	a³
Areal	6a²
Dihedral vinkel	90 °
Ejendomme	konveks zonohedron

I den euklidiske geometri er en terning et rigtigt prisme, hvis ansigter er firkantede og derfor ens og overliggende. Terningen er en af de mest bemærkelsesværdige faste stoffer i rummet . Det er den eneste af Platons fem faste stoffer , der har nøjagtigt 6 ansigter, 12 kanter og 8 hjørner. Dets andet navn er " almindelig hexahedron ".

Da det har fire hjørner pr. Ansigt og tre ansigter pr. Hjørne, er dets Schläfli-symbol {4.3}.

Ordet ternings etymologi er græsk ; terningen kommer fra kubos , terningerne .

Udtrykket terning , anvendt på et tal , betegner den opnåede værdi ved at multiplicere dette tal med sig selv og multiplicere resultatet med det oprindelige tal. Dette udtryk dukkede op i den periode, hvor geometrisk algebra var allestedsnærværende, kvadratet af et tal blev set som arealet af et kvadrat bortset fra det oprindelige tal og terningen af et tal som volumenet af en. Terning til side det originale nummer. Udtrykket " a 3 " kan læses "en terning" og "en terning".

Den 1-skelet af terningen - sættet af dens hjørner er forbundet ved kanterne - danner en graf kaldes en seksfladet graf .

Geometri

Terningen er en af Platons fem faste stoffer . En terning tilhører familien af de rigtige prismer . Den har 8 hjørner og 12 kanter . For hjørner kan man f.eks. Tage koordinatpunkterne . Desuden : ${\ mathbb R} ^ {3}$ ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1)}$

To kanter med en fælles ende er ortogonale.
Modsatte ansigter er parallelle . Tilstødende ansigter er vinkelrette
Alle dihedrale vinkler er lige .
De diagonaler skærer hinanden i et enkelt punkt, centrum for symmetri af terningen, det isobarycenter af de otte knudepunkter.

Men pr. Definition er dets kanter alle lige lange, siger a . Dens ansigter er derfor firkanter af område a 2 .

Terningens areal er derfor 6 til 2 ;
dens volumen er lig med 3 ;
længden af en diagonal er lig med en √ 3 ;
den omskrevne sfære er derfor at radius er √ 3 /2;
kuglen tangent til kanterne har en radius a / √ 2 ;
den indskrevne kugle har radius a / 2;
vinklen mellem diagonalen og hver af de tilstødende kanter er ${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) \ simeq 54 {,} 74 ^ {\ circ}.}$
vinklen mellem diagonalen og hvert af de tilstødende plan er $\ arctan \ left ({\ frac 1 {{\ sqrt 2}}} \ right) \ simeq 35 {,} 26 ^ {\ circ}.$

Det er udtrykket for dets volumen, der førte til brugen af ordet terning i algebra .

Andre definitioner

Der er andre ækvivalente definitioner af terningen:

terninger er den eneste polyeder, hvis ansigter er firkantede;
terningen er en antidiamant i rækkefølge 3 med regelmæssige hjørner og lige dyedevinkler.

Gruppe af isometrier

Gruppen af isometrier af terningen, betegnet O h , og den undergruppe af dens positive isometrier (dens drejninger ), betegnet O, kaldes også oktaedriske symmetri grupper , fordi de er de samme som dem for dets duale polyedre , l ' regelmæssig oktaeder .

Terningen er en af polyederne, der tilbyder de fleste symmetrier:

3 rotationsakse af rækkefølge 4: akser, der passerer gennem midten af to modstående flader;
6 rotationsakse af rækkefølge 2: akser, der passerer gennem midten af to modstående kanter;
4 rotationsakse af rækkefølge 3: akser, der passerer gennem to modstående hjørner;
den centrale symmetri i forhold til terningens centrum;
9 symmetriplan : 3 plan, der medierer kanterne, 6 plan, der passerer gennem to modsatte kanter.

En terningens isometri fikser dens centrum. Det er derfor helt defineret af billedet af et toppunkt A og to (B og C) af dets tre naboer (da disse tre punkter danner med midten et referencepunkt i rummet ). Spidsen A kan have som et hvilket som helst billede, A ', af terningens 8 hjørner. For toppunktet B er der derefter 3 mulige billeder blandt de tre naboer til A ', så for billedet af C, 2 billeder blandt de to tilbageværende naboer. Dette beviser, at de isometrier, der forlader terningen globalt uforanderlige, er 8 × 3 × 2 = 48, inklusive 24 rotationer, hvor kun et af de to billeder af C giver den samme retning af A'B'C 'med hensyn til ABC. De 24 omdrejninger er:

identitetsapplikationen, som er en rotation (af nul vinkel og af enhver akse);
3 akse halvdrejninger, der passerer gennem midten af to modstående flader (3 akser mulige);
6 kvart omdrejninger af aksen, der passerer gennem midten af to modstående flader (3 mulige akser og 2 mulige vinkler);
6 akse halvdrejninger, der passerer midtpunkterne på to modsatte kanter (6 akser mulige);
8 tredjedele af aksesvingninger passerer gennem to modsatte hjørner (4 mulige akser og 2 mulige vinkler).

Den gruppe O i disse 24 rotationer er isomorf til den symmetriske gruppe S 4 . Enhver rotation tillader faktisk kubens fire diagonaler, og omvendt definerer enhver permutation af de fire diagonaler en enkelt rotation.

Kubens negative isometrier er de antirotationer, der består af disse rotationer ved den centrale symmetri og pendler med den. Gruppen O h er derfor den direkte indre produkt af undergruppe O ved cyklisk undergruppe af orden 2 genereret af den centrale symmetri. Det er den største af de 7 ortogonale grupper med 3-dimensionelle netværk .

De 24 negative isometrier er henholdsvis:

central symmetri
3 symmetrier med hensyn til et plan, der passerer gennem midten af terningen og parallelt med et ansigt (3 mulige plan);
6 sammensat af de foregående symmetrier med en kvart akses omdrejning vinkelret på symmetriplanet (3 mulige plan og 2 mulige vinkler);
6 symmetrier i forhold til et plan, der passerer gennem to modstående kanter (6 mulige plan);
8 sammensat af en sjette af en aksesving, der passerer gennem to modsatte hjørner med symmetri i forhold til planet, der passerer gennem midten af terningen og vinkelret på denne akse (4 mulige akser og 2 mulige vinkler). Symmetriplanet skærer kanterne af terningen og danner en regelmæssig sekskant.

Endelig kan terningens otte hjørner opdeles i to regelmæssige tetraeder , symmetriske til hinanden ved central symmetri. Det følger heraf, at 24 af terningens 48 isometrier efterlader hver af disse tetraeder invariante, og 24 udveksler de to tetraeder. De 24 isometrier af terningen, der efterlader tetrahedra invariant, danner gruppen af isometrier af tetraederet: 12 er rotationer og 12 er indirekte isometrier. Disse 24 isometrier tillader tetraederens fire hjørner.

Mønstre

Der er elleve terning mønstre ; her er fire:

Udvikling pasning , kan side- firkanter placeres lavere eller højere
Udvikler zigzag
Denne udvikling passer i et to-fem-rektangel og minimerer spildt plads
Den venstre firkant kan placeres lavere eller højere

Sektioner

Et fly og en terning mødes måske eller måske ikke. Hvis de mødes, kan deres kryds trække

en pointe
et segment
en trekant
en firkant, i det mindste en trapez, undertiden et rektangel eller endda en rombe.
en femkant. Denne femkant har altid to par parallelle sider
en sekskant med tre par parallelle sider

Da terningen kun har seks sider, er det ikke muligt at opnå en sektion med mere end 6 sider.

Sektion efter en trekant
Sektion efter en trapez
Afsnit efter en rombe
Sektion efter et rektangel med maksimalt areal
Sektion efter en femkant med to par parallelle sider
Sektion efter en sekskant med tre par parallelle sider

Skæringspunktet mellem et plan og en terning kan give tre typer regelmæssige polygoner:

den ligesidede trekant for plan vinkelret på en diagonal, og hvis afstand i den ene ende af diagonalen er mindre end en tredjedel af dens længde. Takket være sektionen af terningen ABCDEFGH med planet DBE (se illustration nedenfor), som er en ligesidet trekant DBE med centrum Ω, opnår vi, at terningens diagonale [AG] er opdelt i to dele [GΩ] og [ΩA] i forholdet 2: 1. Vi opnår også, at terningen er sammensat af tre faste stoffer i samme højde: to pyramider ADBE og GCHF og det faste CHFDEB;
firkanten til fly parallelt med et af ansigterne. Men vi kan også få en firkant ved at skære terningen med et plan parallelt med et diagonalt plan og i en afstand fra det; ${\ displaystyle a {\ frac {{\ sqrt {2}} - 1} {2}}}$
den almindelige sekskant ved at skære terningen ved formidlingsplanet for en af dens diagonaler.

Kubens diagonale nedbrydes i to dele i forholdet 2: 1 ved et ligesidet trekantssnit
Sektion af terningen i henhold til en firkant. De øverste hjørner er i en afstand fra A lig med halvdelen af AC
Sekskantet sektion af terningen ved mediatorplanet for [AG}

Det er ikke muligt at opnå en regelmæssig femkant, fordi sektionen med 5 sider, planet nødvendigvis skærer to modsatte sider af terningen, figuren har derfor to parallelle sider, hvilket ikke sker i den almindelige femkant. Det er ikke muligt at få et snit i form af en ret trekant, fordi alle vinklerne i trekanten opnået ved snit er skarpe. Det er ikke muligt at opnå en sektion, der er et rektangel trapez uden at være et rektangel.

Det maksimale areal for en sektion af terningen med side $a$ er . Dette område opnås ved sektionen, der følger et plan, der indeholder to modsatte kanter af terningen. ${\ displaystyle a ^ {2} {\ sqrt {2}}}$

Terningen og den anden polyhedra

Den dobbelte af terningen er det regulære oktaeder . Dette forklarer, hvorfor de to faste stoffer har den samme gruppe isometrier.

Kuben passer ind i en almindelig dodecahedron : terningens hjørner er dodecahedronens hjørner, og terningens kanter er dannet af segmenter, der forbinder to ikke-fortløbende hjørner i en femkantet overflade af dodecahedronen. Der er således fem måder at indskrive en terning i en almindelig dodecahedron.

Vi kan også indskrive terningen i en rhombisk dodecahedron . Kubens hjørner svarer til hjørnerne i rækkefølge 3 i den rhombiske dodecahedron, og terningens kanter svarer til diamanternes diagonaler.

Terningfascination

Kuben spillede en vigtig rolle i græsk geometri og kosmologi. Platon klassificerer det som det fjerde faste stof, det første bygget ved hjælp af rigtige ligebenede trekanter :

”Grupperet efter fire med deres rette vinkler, der mødes i midten, danner disse ligebenede trekanter et firkant. Seks af disse firkanter ved sammenføjning fødte otte faste vinkler, hver sammensat af tre rette plane vinkler, og den resulterende figur er en terning ( Timée , 54c - 55 d) ”

Som hvert platonisk fast stof er terningen forbundet med et element. Som det mest stabile element er det forbundet med Jorden .

I en anden symbolsk nøgle symboliserer den den materielle verden og alle de fire elementer. Symbol for stabilitet, det findes ofte i bunden af troner.

Terningen var genstand for et problem, der viste sig at være uopløseligt: duplikering af terningen med en lineal og et kompas.

I Keplers kosmologi er terningen associeret med planeten Saturn .

Vi finder også terningen i frimurerisymbolikken . Kuben symboliserer de fremskridt, som ledsageren skal gøre for at gå fra den ru sten til det perfekte faste stof.

Cube er en del af en sekvens af tre canadiske film. Apple producerede Cube- computeren, Nintendo GameCube- konsollen. Den Rubiks terning er et puslespil , hvis refleksion er baseret på farve foreninger. At forstå din løsning involverer en gruppe af permutationer .

Man finder en trunkeret terning i tabellen Melencolia af Albrecht Dürer . Den Bruxelles Atomium er en terning. Faktisk er terningen et af de mulige netværk inden for krystallografi for blandt andet sølv , guld , kobber , platin , diamant , salt .

Noter og referencer

Gérard Villemin, “ Section du cube ” (adgang til 3. oktober 2019 ) .
IREM de Paris Nord, “ Section du cubes et de pyramide ” (adgang til 3. oktober 2019 ) .
Chuanming Zong , " Hvad er kendt om enhedsterninger ", Bulletin of the amarican mathematical society , bind. 42, nr . 226. juni 2005( læs online ), s. 5
Jean Chevalier og Alain Gheerbrant, Ordbog over symboler , Laffont ,1982, s. 328.

Se også

Relaterede artikler

Eksternt link

Matthieu Aubry, " Den korteste vej på terningen " , på matthieu.net