I geometri , en dodekaeder er en tolv-sidet polyeder . Da hvert ansigt har mindst tre sider, og hver kant grænser op til to ansigter, har en dodecahedron mindst 18 kanter.
Nogle har specifikke egenskaber som almindelige ansigter eller symmetrier :
trapezo-rhombisk dodecahedron
Pyritohedron | |
---|---|
En pyritohedron har 30 kanter opdelt i to grupper med forskellig længde, der omfatter 24 og 6 kanter. | |
Polygon af ansigter | uregelmæssig femkant |
Coxeter diagrammer |
|
Ansigter | 12 |
Kanter | 30 (6 + 24) |
Hjørner | 20 (8 + 12) |
Symmetri gruppe | T h , [4,3 + ], (3 * 2), ordre 24 |
Rotationsgruppe | T , [3,3] + , (332), rækkefølge 12 |
Dobbelt | Pseudoicosahedron |
Ejendomme | konveks |
Chef |
En pyritohedron er en dodecahedron med pyritohedral symmetri ( Th ). Ligesom den almindelige dodecahedron har den tolv identiske femkantede ansigter , hvoraf tre krydser hinanden ved hver af de 20 hjørner. Imidlertid er pentagoner ikke nødvendigvis regelmæssige, så strukturen har normalt ikke symmetriakser af 5. orden. Dens tredive kanter er opdelt i to grupper - indeholdende henholdsvis 24 og 6 kanter af samme længde.
Selvom den almindelige dodecahedron ikke findes i krystaller (men findes i kvasi-krystaller ), observeres den forvrængede form af pyritohedronen i pyritkrystallen og kan have inspireret til opdagelsen af den regelmæssige form af det platoniske faste stof .
Navnet stammer fra en af de almindelige krystallinske former af pyrit , den anden er kubisk.
Kubisk pyrit |
Pyritohedral pyrit |
kvasi-krystal af Ho-Mg-Zn |
Koordinater for 8 af hjørnerne:
(± 1, ± 1, ± 1)Koordinaterne for de 12 andre hjørner er permutationerne for:
(0, ± (1+ h ), ± (1− h 2 ))hvor h er tagets højde i kuppel over terningsfladerne. Når h = 1, degenererer 6 af kanterne til punkter, hvilket danner en rhombisk dodecahedron . For den almindelige dodecahedron er h = (√5-1) / 2, det omvendte af det gyldne forhold .
Pyritohedronen har geometriske frihedsgrader med grænsetilfælde for et kubisk konveks skrog som grænsen med kollinære kanter og en rhombisk dodecahedron som en anden grænse, når 6 kanter reduceres til nul længde. Den almindelige dodecahedron repræsenterer et specifikt specielt tilfælde, hvor alle vinkler og kanter er ens.
1: 1 | 1: 1 | 2: 1 | 1.3092 ...: 1 | 1: 1 | 0: 1 |
---|---|---|---|---|---|
h = 0 | h = (√5−1) / 2 | h = 1 | |||
Regelmæssig stjerne i den store stellatdodkaeder , med pentagoner deformeret til regelmæssige pentagrammer |
Konkave pyritohedral dodecahedron |
En terning kan omdannes til en pyritohedron ved at skære alle kanter og ansigter ud i krydsede retninger. |
Geometriske proportioner af pyritohedronen i Weaire -Phelan-strukturen |
En regelmæssig dodecahedron er et mellemliggende tilfælde, hvis kanter har samme længde. |
En rhombisk dodecahedron er det begrænsende tilfælde, hvor længden af 6 af kanterne reduceres til nul. |
En regelmæssig dodecahedron kan konstrueres fra en terning på følgende måde: den øverste firkantede overflade af terningen erstattes af et "tag", der består af to femkanter, der er forbundet langs toppen af taget. Femkantens diagonaler parallelt med toppen af taget falder sammen med de to modsatte sider af pladsen. Ligeledes erstattes de andre 5 firkantede ansigter med et par femkanter. Pyritohedronen er endelig bygget ved at ændre hældningen på disse "tage".