Ligesidet trekant

Ligesidet trekant


Type	Regelmæssig polygon

Schläfli-symbol	{3}
Coxeter-Dynkin-diagram
Symmetri gruppe	Dihedral gruppe (D 6 )
Intern vinkel	60 °
Areal	$\sqrt 3 / 4 a ²$
Omkreds	$3 a$
Ejendomme	Kan bygges

I euklidisk geometri er en ligesidet trekant en trekant, hvis tre sider har samme længde . Dens tre indre vinkler har derefter det samme mål på 60 grader , og det udgør således en regelmæssig polygon med tre hjørner .

Alle ligesidede trekanter er ens . Hver ligesidet trekant er uforanderlig med tre aksiale symmetrier og to rotationer, hvis centrum er på samme tid tyngdepunktet , ortocentret og centrum af cirklerne indskrevet og omskrevet til trekanten.

Figuren af den ligesidede trekant vises i mange matematiske og kulturelle sammenhænge.

Ejendomme

Vinkler

I modsætning til andre polygoner er trekanten en stiv figur, dvs. kendskabet til sidelængderne bestemmer målene for de indre vinkler i henhold til ligestillingssagen for trekanter afledt af aksiomerne i Euklid eller i en mere beregningsform Al Kashis sætning . Især i tilfældet med den ligesidede trekant indebærer ligestillingen af sidelængderne, at de tre indre vinkler har samme mål. Imidlertid summen af vinklerne i en trekant er lig med 180 °, så hver intern vinkel er værd en tredjedel af dette beløb, derfor 60 °.

Bemærkelsesværdige elementer

Da en ligesidet trekant er ligebenede på hver af sine hjørner, er hver median også en højde , halveret og båret af den vinkelrette halvering på den modsatte side. Dette segment opdeler trekanten i to symmetriske højre trekanter, hvis hypotenus er dobbelt på den anden side. Med $en$ fælles længde med de tre sider kan Pythagoras sætning vise, at denne højdemåling , så området skrives . Den omkredsen er simpelthen skrives $p$ $= 3$ $a$ . ${\ displaystyle h = a {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {ah} {2}} = a ^ {2} {\ frac {\ sqrt {3}} {4}}}$

Overlejringen af de bemærkelsesværdige linjer indebærer, at tyngdepunktet , der ligger to tredjedele af medianen startende fra toppunktet, også er centrum for den omskrevne cirkel, der passerer gennem hver af de tre hjørner. Radius af denne cirkel er derfor værd . Den indskrevne cirkel , med det samme centrum, er tangent til hver side i slutningen af en radius, der er vinkelret på den , så denne radius er den sidste tredjedel af medianen og måler . ${\ displaystyle R = {\ frac {2} {3}} h = {\ frac {\ sqrt {3}} {3}} a}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {\ sqrt {3}} {6}} a}$

Kvotienten for diskens areal, der er indskrevet i en ligesidet trekant af trekantsarealet, er lig med $π / 3 \sqrt 3$ ≈ 0,604 599 (fortsættelse A073010 af OEIS ).

Symmetrier

Sidens vinkelrette halvering er symmetriakser for den ligesidede trekant, og forbindelserne af disse symmetrier definerer to rotationer på 120 ° omkring midten af trekanten. Med identitet , vi får 6 transformationer, der udgør symmetri gruppe af den ligesidede trekant, isomorf til den to-plans gruppe D 6 , i orden 6.

Blandt trekanterne (ikke reduceret til et punkt), er det kun de ligesidede trekanter, der tillader så mange symmetrier.

Højdepunkterne i en ligesidet trekant kan opnås fra to symmetriakser, der danner en vinkel på 60 ° og fra et punkt, der kun hører til en af de to akser. Reflektionen af dette punkt i forhold til den anden akse danner et andet toppunkt, som derefter giver anledning til det tredje toppunkt efter refleksion i forhold til den første akse. Denne konstruktion er illustreret af Coxeter-Dynkin-diagrammet bestående af to punkter (hver repræsenterer en akse) forbundet med en kant (hvilket betyder vinklen på 60 °) med en ring omkring det første punkt (der repræsenterer det indledende toppunkt).

Den Schläfli symbol ${3}$ angiver blot antallet af sider for en regelmæssig polygon.

Karakterisering

Vinklernes ligestilling er karakteristisk, det vil sige, at enhver ligevægtet trekant (hvoraf alle de indre vinkler har samme mål) nødvendigvis er ligesidet. Andre karakteriseringer kommer fra optimeringsproblemer , hvor den ligesidede trekant er løsningen.

Den ligesidede trekant maksimerer det indre område af trekanten for en fast omkreds. Det maksimerer også forholdet mellem arealet af den indskrevne cirkel og arealet af trekanten og forholdet mellem arealet af trekanten og området for den omskrevne cirkel, og derfor også forholdet mellem radius af den indskrevne cirkel og den cirkel, der er afgrænset.

Geometrisk konstruktion

For at konstruere en ligesidet trekant med et segment fastgjort ved hjælp af et kompas for siden , kan vi:

tilpasse kompassets åbning til segmentets bredde;
tegne to sekantbuer i en cirkel ved successivt at placere kompassets punkt i hver ende af segmentet
forbinde med linealen et skæringspunkt mellem de to buer i de to ender af segmentet.

For at konstruere en ligesidet trekant indskrevet i en cirkel kan vi:

tilpasse åbningen af kompasset til cirkelens radius;
placere kompassets punkt et sted på cirklen;
tegne med et kompas to buer af en cirkel, der skærer den indledende cirkel på to forskellige punkter;
forbinde de to skæringspunkter, der således er dannet, med en lineal og forbinde dem til det punkt, hvor kompassets punkt var placeret

Forekomster

Ligesidede trekanter findes i mange geometriske konstruktioner (se for eksempel GeoGebra ). Tre af Platons fem faste stoffer består af ligesidede trekanter. Især er de fire flader på den almindelige tetraeder ligesidede trekanter. Mere generelt, de 2-flader af regelmæssige simplexes i større dimensioner ligesom pentachore er ligesidede trekanter.

Den ligesidede trekant udgør en flise af den trekantede tessellation . Især seks ligesidede trekanter kan komponere en regelmæssig sekskant indskrevet i enhedscirklen, hvilket gør det muligt at demonstrere uligheden . ${\ displaystyle \ pi> 3}$

To ligesidede trekanter symmetriske omkring deres fælles centrum danner et hexagram .

Trekantet belægning
Sekskant med omkreds 6 indskrevet i cirkelenheden med længden 2π
Hexagram indskrevet i en sekskant

Formen på den ligesidede trekant bruges til at repræsentere de trekantede tal og til at have de binomiale koefficienter i Pascals trekant .

Første trekantede tal
Første linier i Pascals trekant
Markering af pariteten af vilkårene i Pascals trekant, der viser en Sierpiński-trekant

Det geometriske mønster vises også i konstruktionen af Sierpiński-trekanten og Koch-snefnug .

Indledende trekant
Første fase af konstruktionen af Koch-snefnug
Andet trin
Tredje trin
Fjerde trin

De tredje rødder af enhed 1 og danner en ligesidet trekant i det komplekse plan . ${\ displaystyle \ mathrm {j}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {j}}}}$

Den Morley teorem er et resultat og finde en ligesidet trekant i enhver trekant.

Enhver trekant "er" ligesidig, det vil sige, at enhver trekant (ikke degenereret ) af affinplanet er ligesidet for et bestemt skalarprodukt (unikt for et positivt multipel nær).

I kultur

Flere arkæologiske steder har ligesidede trekanter i deres konstruktion, for eksempel Lepenski Vir i Serbien .
Figuren vises også i moderne arkitektur, såsom i Jefferson National Expansion Memorial .
Den ligesidede trekant har mystisk betydning, idet den er en repræsentation af den kristne treenighed i De to babyloner og en del af Tetraktys , en figur brugt af pythagoreerne .
I vejskilte har fareadvarselsskilte og afkast-vej- skiltene en ligesidet trekantform med henholdsvis et toppunkt øverst og et toppunkt i bunden.

Noter og referencer

( fr ) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Ligesidet trekant " ( se listen over forfattere ) .

Ud over den trivielle rotation, der er identitet .
Der kan være to skæringspunkter for buerne i to forskellige cirkler. Du skal bare vælge en af de to.
Pierre Lecomte, matematikeren og hans slaver , University of Liège Publishing ,2009( læs online ) , s. 127.
Det svarer til at sige, at de seks affine transformationer forlader denne trekant invariant er isometrier for en vis euklidisk afstand . Sammenlign med ” Euklidisk rum, § Karakterisering af den ortogonale gruppe ”.

Se også

Relaterede artikler

Eksternt link

( fr ) Ligesidet trekant på Math Open Reference-webstedet med interaktiv animation.