Hodge Duality

I lineær algebra er Hodge-operatøren , introduceret af William Vallance Douglas Hodge , en operatør på den udvendige algebra i et orienteret euklidisk vektorrum . Det betegnes normalt med en stjerne, der går forud for det element, som operatøren anvendes til. Vi taler således om Hodges stjerne . Hvis dimensionen af ​​rummet er n , etablerer operatøren en korrespondance mellem k- vektorerne og ( n - k ) -vektorerne, kaldet Hodge-dualitet .

I differentiel geometri kan Hodge-operatøren udvides til at dirigere Riemannian-vektorbundter . Anvendt på det cotangente rum i orienterede Riemannian-manifolder giver Hodge-operatøren mulighed for at definere en norm L 2 på rummet med forskellige former. Kodifferentialet defineres derefter som den supplerende form for det eksterne derivat . Denne codifferential griber især ind i definitionen af harmoniske former .

Definition

Hodge-operatør på k -vektorer

Lad E være et orienteret euklidisk vektorrum med begrænset dimension n . Underrummene og af k -vectors og de nk vektorer er af samme dimension, nemlig binomialkoefficient . Det er muligt at definere en lineær isomorfisme bemærket * mellem disse to mellemrum og kaldet Hodge-operatøren . ∧kE{\ displaystyle \ wedge ^ {k} E}∧ikke-kE{\ displaystyle \ wedge ^ {nk} E} (ikkek){\ displaystyle n \ vælg k}

For ethvert direkte ortonormalt grundlag , e1,e2,...,eikke{\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, \ ldots, e_ {n}}

∗(e1∧e2∧...∧ek)=ek+1∧ek+2∧⋯∧eikke.{\ displaystyle * (e_ {1} \ wedge e_ {2} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {k}) = e_ {k + 1} \ wedge e_ {k + 2} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {n }.}

Derefter strækker den sig lineært til al den udvendige algebra. Denne definition er ikke særlig tilfredsstillende, da den involverer baser, selvom man kan vise, at definitionen ikke afhænger af den valgte direkte ortonormale base. Det har ikke desto mindre fordelen ved at beskrive Hodge-operatørens opførsel i form af direkte ortonormal basefuldførelse.

En mere passende definition består i forårsager volumen formen ω af vektoren orienteret euklidisk rum E . Hodge dual opnås ved at udføre sammentrækningen

∗x=⟨ω,x⟩{\ displaystyle \; * \; X = \ langle \ omega, X \ rangle}

Dualitet

For en k -vektor med plads E i dimension n giver anvendelse af Hodge-operatøren to gange identiteten op til tegnet η∈Λk(E){\ displaystyle \ eta \ in \ Lambda ^ {k} (E)}

∗∗η=(-1)k(ikke-k)η{\ displaystyle ** \ eta = (- 1) ^ {k (nk)} \; \ eta}

Ansøgninger

Prikprodukt på den ydre algebra

Hodge-operatøren gør det muligt at definere et skalarprodukt på den ydre algebra efter forholdet

ζ∧∗η=⟨ζ|η⟩∗1=⟨ζ|η⟩ω¯{\ displaystyle \ zeta \ wedge * \ eta = \ langle \ zeta | \ eta \ rangle \; * 1 = \ langle \ zeta | \ eta \ rangle \; {\ overline {\ omega}}}

Skalar produkt, k -vecteurs opnået ved ydre produkt fra ortonormalbasis E er en ortonormalbasis af Λ E .

Kodifferentiel

Udvidelse til kvadratiske rum

Det er muligt at definere en Hodge-operatør til et kvadratisk rum . Dobbelthed formlen modificeres derefter til grund for signering af den kvadratiske form på E . Præcis multiplicerer vi det andet medlem med diskriminanten af denne kvadratiske form. Så hvis n = 4 og hvis signaturen er (+, -, -, -) eller (-, +, +, +), er eksponenten k (nk) +1 .

Bibliografi

• (en) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ detaljer om udgaver ]
• (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin og Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ detalje af udgaven ]
• (en) Marcel Berger , En panoramaudsigt over Riemannian geometri ,2003[ detalje af udgaven ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">