Teorien om fuzzy subsets er en matematisk teori inden for abstrakt algebra . Det blev udviklet af Lotfi Zadeh i 1965 for at matematisk kunne repræsentere den unøjagtighed, der vedrører visse klasser af objekter, og fungerer som grundlaget for fuzzy logik .
Fuzzy subsets (eller fuzzy parts) blev introduceret for at modellere den menneskelige repræsentation af viden og dermed forbedre ydeevnen for beslutningssystemer, der bruger denne modellering.
Fuzzy-undersæt bruges enten til at modellere usikkerhed og upræcision eller til at repræsentere præcis information i leksikalform, der kan assimileres af et ekspertsystem .
En del af en samling er normalt forbundet med dens karakteristiske funktion . Dette gælder for elementerne x af . Det tager værdien 0, hvis x ikke tilhører og 1, hvis x tilhører .
Vi ønsker at definere en fuzzy del af ved at tilskrive elementerne x i en grad af medlemskab, desto højere som vi med sikkerhed vil udtrykke det faktum, at x er et element af . Denne værdi vil være 0, hvis vi vil udtrykke, at x på en bestemt måde ikke er et element af , det vil være værd 1, hvis vi vil udtrykke, at x hører til på en bestemt måde, og det vil tage en værdi mellem 0 og 1, afhængigt af hvordan vi anslår mere eller mindre sikker på, at x tilhører til . Vi ledes derfor til at definere en fuzzy del som følger:
En fuzzy del (eller fuzzy subset) af et sæt er en kortlægning fra ind i [0,1].
Mere generelt, hvis det er et komplet, distribuerende og suppleret gitter , definerer vi en L-fuzzy del som værende et kort over in . Hvis , finder vi den tidligere definition af fuzzy del, og hvis , finder vi den sædvanlige forestilling om del af E.
Ved at observere, hvordan de sædvanlige operationer opfører sig i forhold til de karakteristiske funktioner i dele, udvider vi disse operationer til medlemsfunktionerne for uklare dele.
Lad være en familie af fuzzy dele af et sæt indekseret efter et sæt , givet af deres medlemsfunktion . Vi definerer foreningen af disse dele ved hjælp af følgende medlemsfunktion:
, som vil blive noteretPå samme måde definerer vi skæringspunktet mellem disse dele ved hjælp af følgende medlemsfunktion:
, som vil blive noteretMøde og kryds forbliver distribuerende med hensyn til hinanden.
Komplementet til en fuzzy del givet af dens medlemsfunktion er den fuzzy del, hvis medlemsfunktion er .
Komplementet af et kryds forbliver lig med komplementernes genforening, og komplementet til et genforening er skæringspunktet mellem komplementerne. Det komplementære af det komplementære returnerer den indledende del.
Foreningen af en uklar del og dens komplement giver imidlertid ikke altid sættet , og skæringspunktet mellem en uklar del og dets komplement giver ikke det tomme sæt.
Faktisk overveje for eksempel den fuzzy del af data fra medlemsfunktionen:
Denne fuzzy del er lig med dens supplement, fordi dens medlemsfunktion kontrollerer .
Vi drager derefter ud af det
Lad og være to sæt og en anvendelse af in . Overvej en fuzzy del af data ved hjælp af dens medlemsfunktion . Vi kalder et gensidigt billede af denne fuzzy del af den fuzzy del af data ved hjælp af følgende medlemsfunktion, bemærket :
Lad og være to sæt og en anvendelse af in . Overvej en fuzzy del af data ved hjælp af dets medlemskabsfunktion . Vi kalder et direkte billede af denne fuzzy del af den fuzzy del af data ved hjælp af følgende medlemsfunktion, bemærket :
Denne operation blev introduceret i 2017 af Javier Perez-Capdevila som følger: Givet fuzzy sæt, W1 = {(w11, f (w11)), (w12, f (w12),…, (w1i, f (w1i)}, W2 = {(w21, f (w21)), (w22, f (w22),…, (w2j, f (w2j)}, ..., Wm = {(wm1, f (wm1)), (wm2, f (wm2),…, (w2k, f (w2k)}, hvis vi fra disse sæt får et sæt M = {(m1, f (m1)), (m2, f (m2),…, (mn, f (mn )}, således at hver mi, i = 1, 2,…, n, er en kombination af elementer, der hører til hver Wk, k = 1, 2,…, m, hvert element i hver Wk udgør en del af mindst en mi , og værdierne af f (mi) er det aritmetiske gennemsnit af funktionsværdierne for de elementer, der danner hver mi, sættet M kaldes det komplette uklare sæt .
Allerede i 1968 anvendte Chang fuzzy set-teori til topologi , hvilket gav anledning til fuzzy topologi.
Lad være et sæt. En fuzzy topologi gives ved en samling af medlemsfunktioner, der verificerer følgende egenskaber:
(i) funktioner 0 og 1 hører til samlingen (ii) Den nedre grænse for et endeligt antal elementer af er element af (iii) Den øvre grænse for et vilkårligt antal elementer af er element af .Elementerne i er de åbne fuzzy. Deres komplementære er de lukkede uklare. Ejendom (i) udtrykker, at sættet og det tomme sæt er fuzzy åbninger, egenskab (ii), at et endeligt skæringspunkt mellem fuzzy åbninger er en fuzzy open og egenskab (iii), at enhver union d open fuzzy er open fuzzy.
For eksempel, givet et mellemrum forsynet med en topologi i den sædvanlige forstand, kan vi forbinde det med en naturlig fuzzy topologi ved at tage til samlingen halvkontinuerlige funktioner lavere end værdierne i [0,1]. Den således definerede fuzzy topologi siges at være genereret af den indledende topologi af . Omvendt, hvis der er defineret en fuzzy topologi , kan vi forbinde den med en topologi i den sædvanlige forstand, nemlig den mindst fine topologi, der gør alle funktionerne til semi-kontinuerlig nedenfor.
Vi kan derefter introducere mere komplekse forestillinger om fuzzy topologi.
KontinuitetSåledes er en funktion fuzzy kontinuerlig, hvis og kun hvis det gensidige billede af en fuzzy open af ankomstsættet er en fuzzy open af afgangssættet. De konstante funktioner er fuzzy kontinuerlige, hvis og kun hvis den fuzzy topologi i startrummet indeholder alle de fuzzy åbninger defineret af konstante medlemsfunktioner.
KompakthedI analogi med den sædvanlige topologiske forestilling er et fuzzy topologisk rum kompakt, hvis vi fra enhver overlapning af fuzzy åbninger kan udtrække en endelig overlapning. Hvis billedet af en kompakt ved en fuzzy kontinuerlig applikation er kompakt, på den anden side indrømmer Tychonoffs sætning kun en begrænset version: kun det færdige produkt af kompakter i fuzzy topologi er kompakt. Mere generelt er enten et komplet, distribuerende og suppleret gitter med maksimalt element 1 eller et kardinaltal og enten en familie af komprimerer i L-fuzzy topologi, hvor er kardinal . Derefter er produktet af kompakt til L-fuzzy-produkttopologien, hvis og kun hvis 1 opfylder følgende egenskab: for enhver familie af elementer med strengt mindre end 1 er det strengt mindre end 1 (Tychonoffs sætning for L-fuzzy-topologien). I det tilfælde, hvor denne egenskab ved at give den sædvanlige topologi verificeres for enhver kardinal, og ethvert produkt af komprimatorer er kompakt. Men hvis ejendommen giver den fuzzy topologi, er den kun verificeret for endelige kardinaler.
Lowen foreslog en anden definition af kompakter i fuzzy topologi. Faktisk, hvis den fuzzy topologi inkluderer alle de konstante medlemsfunktioner, er der ingen kompakt i tidligere forstand: funktionerne er sådan, at disse funktioner derfor definerer en overlapning af rummet, men der er ingen færdig undercover. Et rum er kompakt til fuzzy topologi i Lowens forstand, hvis der for enhver konstant medlemskabsfunktion alt og enhver fuzzy open familie sådan, at der eksisterer en endelig underfamilie sådan, at . Med denne definition er et rum forsynet med en sædvanlig topologi kompakt, hvis og kun hvis det er kompakt forsynet med den fuzzy topologi, der genereres af , og ethvert produkt af kompakte rum er kompakt (Tychonoffs sætning for fuzzy topology i den forstand, som Lowen).
Endelig viser vi, at Tychonoffs sætning for L-fuzzy topologi og Tychonoffs sætning for fuzzy topologi i Lowens forstand ligesom den sædvanlige Tychonoff-sætning svarer til det valgte aksiom .