Stenrum

I matematik , mere præcist inden for topologi , er et stenrum et kompakt topologisk rum, der er "mindst muligt forbundet " i den forstand, at det tomme sæt og singletonerne er de eneste forbundne dele.

Stones rumbegreb og dets grundlæggende egenskaber blev opdaget og undersøgt af Marshall Stone i 1936.

Definition

Ethvert diskret færdigt rum er af Stone.
Den Cantor rum er Stone rum af en boolsk algebra (som er tællelig og uden atomer ). ${\ displaystyle \ {0,1 \} ^ {\ mathbb {N}}}$
Mere generelt kan vi tage enhver kardinal i stedet for den (bemærket ℵ₀ ). Med andre ord, for alle kardinal κ , er plads Cantor generaliseret {0, 1} κ rummet for den algebrafrie Boole (en) til κ- generatorer. $\ mathbb {N}$
En kompakt gruppe profineres, hvis og kun hvis det er et stenrum .

Som det er tilfældet for ethvert topologisk rum, er den åbne-lukkede algebra i et stenrum en boolsk algebra. Omvendt siger Stone's repræsentationssætning for boolske algebraer , at enhver boolsk algebra er isomorf til den åbne-lukkede algebra i et stenrum. Dette skaber en ækvivalens mellem kategorien af boolske algebraer og kategorien stenrum, hvilket er et specielt tilfælde af sten dualitet (in) .
Stenrummet i en boolsk algebra kan måles, hvis og kun hvis den boolske algebra kan tælles.
En boolsk algebra er komplet, hvis og kun hvis dens stenrum er ekstremt diskontinuerligt ( dvs. hvis vedhæftningen af et åbent rum er åbent).

(i) Marshall H. Stone, " The Theory of repræsentationer Boolean Algebras " , Trans. Bitter. Matematik. Soc. , Nr . 40,1936, s. 37-111 ( JSTOR 1989664 ).
(en) Roman Sikorski (en) , boolske algebraer , Springer ,1969.
Vi finder en præcis beskrivelse af denne modstridende funktor i artiklen, der er afsat til repræsentationssætningen .

(en) Peter T. Johnstone (en) , Stone spaces , Cambridge University Press , 1982, reed. 1986
(en) JD Monk og R. Bonnet (red.), Handbook of Boolean algebras , vol. 1-3, Nordholland, 1989