Præ-kompakter plads

I topologi , en gren af matematikken , et metrisk rum E er forkomprimerede hvis, for enhver ε> 0, kan vi dække E ved et endeligt antal kugler med radius ε. Hovedegenskaben er, at et metrisk rum er kompakt, hvis og kun hvis det er prækompakt og komplet . Begrebet prækomposition og dets egenskaber er generaliseret til ensartede rum .

Definitioner

Lad E være et metrisk rum. Hvis en af de følgende tre egenskaber er sand, så er alle tre, og E siges at være forkompakt.

For alle ε> 0 kan vi dække E med et endeligt antal kugler med radius ε;
For alle ε> 0 kan vi dække E med et endeligt antal dele med diameter mindre end ε;
Ethvert resultat i E har en efterfølgende Cauchy .

Demonstration

1. ⇒ 2: enhver kugle med radius ε har en diameter på mindre end eller lig med 2ε.
2. ⇒ 3 .: lad x være en sekvens i et mellemrum E, der tilfredsstiller 2. Lad os dække E med et endeligt antal dele med diametre mindre end 2 0 = 1. En af disse dele - lad os kalde det E 0 - indeholder en uendelig række af udtryk i sekvensen x , dvs. en sekvens ( x φ (0, n ) ). Vi kan også dække E 0 med et endeligt antal dele af E 0 med diametre mindre end 2 -1, og en af dem, E 1 , vil indeholde en undersekvens ( x φ (1, n ) ) på ( x φ (0, n ) ). Ved iteration processen, vi konstruere en faldende sekvens af dele E k diametre henholdsvis mindre end 2 - k , der hver indeholder en undersekvens ( x φ ( k, n ) ) af den foregående undersekvens ( x φ ( k - 1, n ) ). Den diagonale sekvens ( x φ ( n, n ) ) er derefter en Cauchy-sekvens af x .
3. ⇒ 1: ræsonnement ved modsætning , lad os overveje et mellemrum E, som for et bestemt ε> 0 ikke er en endelig forening af åbne kugler med radius ε. Dette gør det muligt at konstruere en sekvens $( x n )$ af punkter af E ved induktion, således at $\ forall n \ in \ N, ~ x_n \ notin \ cup_ {k <n} B \ left (x_k, \ varepsilon \ right).$ Denne sekvens kontrollerer derefter: $\ forall \ left (i, j \ right) \ in \ N ^ 2, i \ neq j \ Rightarrow d \ left (x_i, x_j \ right) \ ge \ varepsilon$ derfor $( x n )$ indrømmer ikke en Cauchy-efterfølgelse.

Mere generelt, lad E være et ensartet rum. Hvis en af de følgende tre egenskaber er verificeret, er alle tre, og E siges at være prækomprimeret.

For enhver omgivende V af E findes der en endelig dækning af E, hvis sæt er små af orden V (dvs. deres kartesiske firkanter er inkluderet i V ).
Ethvert filter af E er indeholdt i et Cauchy-filter .
Ethvert ultrafilter fra E er fra Cauchy.

Ejendomme

Ethvert prækompakt metrisk rum er afgrænset .
Ethvert prækompakt metrisk rum kan adskilles og har endda ( som enhver adskillelig metrisk ) et tællbart grundlag af Lindelöf .
Sætning - Et metrisk rum (eller mere generelt: et separat ensartet rum ) er kompakt, hvis og kun hvis det er prækompakt og komplet.

Demonstration i den metriske ramme

Ethvert kompakt metrisk rum er precompact.
Faktisk, i et sådant rum har hver sekvens en konvergent, derfor Cauchy, konsekvens.
Ethvert kompakt metrisk rum er komplet.
Det er tilstrækkeligt at bruge, at i et sådant rum indrømmer hver sekvens en konvergerende sekvens, og at når en Cauchy-sekvens x indrømmer en konvergerende sekvens y , konvergerer x (mod y- grænsen )
Ethvert precompact og komplet metrisk rum er kompakt.
Faktisk, i et sådant rum har enhver sekvens en Cauchy-sekvens (ved precompacity) og derfor konvergent (af fuldstændighed), så rummet er sekventielt kompakt . Vi konkluderer, at den er kompakt af Bolzano-Weierstrass sætning , eller ved at bruge, at rummet er Lindelöf ( jf. Tidligere ejendom) og tæller kompakt .

I et ensartet rum er alle dele, endelige møder, adhæsioner af precompacts, precompact; ethvert billede af en precompact med en ensartet kontinuerlig funktion er precompact: disse egenskaber skyldes straks definitionen af precompacity af Cauchy-egenskaben.
Et metrisk (hhv. Ensartet) rum er præ-kompakt, hvis og kun hvis det afsluttede (resp. Dets separate udfyldte ) er kompakt.
For lad E et ensartet mellemrum, F et udfyldt særskilt og i den kanoniske anvendelse af E i F . Ifølge sætningen er F kompakt, hvis og kun hvis det er prækompakt. Hvis F nu er prækompakt, så er E også - fordi den ensartede struktur af E er det gensidige billede ved i × i af det for F - og omvendt, hvis E er prækompakt, så er også i ( E ) - da jeg er ensartet kontinuerlig - derfor dets vedhæftning F også.
Ethvert produkt af prækompakte ensartede rum (især ethvert produkt af prækompakte metriske rum ) er prækompakt.
Ethvert regelmæssigt rum med et tællbart grundlag kan måles på en precompact måde.

Noter og referencer

Uden det valgte aksiom siger vi, at E er precompact, hvis den tilfredsstiller egenskab 2, og at den er fuldstændigt afgrænset, hvis den tilfredsstiller egenskab 1, som er svagere, men karakteriseringen af kompakthed med hensyn til precompacity og fuldstændighed forbliver sand. (en) Eric Schechter (en) , Analysehåndbog og dens fundamenter , Academic Press,1996, 883 s. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , læs online ) , s. 505-507
W. F. Newns , “ On precompact uniform spaces ”, Portugaliae mathematica , vol. 13, nr . 1,1954, s. 33-34 ( læs online )
N. Bourbaki , Elementer i matematik, bog III: Generel topologi [ udgave detaljer ], s. II.30.
Navnlig: enhver kompakt rum er fuldstændig og forkomprimerede, uden udtrykkeligt at antage, at rummet er forsynet med en ensartet struktur: enhver kompakt er entydigt ensartet .
Det er denne karakterisering, der vælges som en definition af Bourbaki , s. II.29.
(i) AV Arkhangel'skii , "Totally-afgrænset rum" i Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , læs online ).

Georges Skandalis , topologi og analyse 3 rd år , Dunod, coll. "Sciences Sup", 2001
Claude Wagschal, Topologi og funktionel analyse , Hermann, coll. "Metoder", 1995

Relateret artikel

Ascolis sætning