Under-suite

I matematik , en undersekvens (eller et ekstraheret sekvens ) er en sekvens opnået ved at tage kun visse elementer (en uendeligt) af en startsekvens. Denne operation kaldes undertiden ekstraktion .

Formelt er en sekvens et kort defineret på sættet ℕ af naturlige tal . Vi bemærker det klassisk . En undersekvens eller undersekvens består af u ved at anvende strengt stigende . (uikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} φ:IKKE→IKKE{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}

Det er derfor skrevet i form . I denne sammenhæng kaldes applikationen extractor . (uφ(ikke))ikke∈IKKE{\ displaystyle (u _ {\ varphi (n)}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}φ{\ displaystyle \ varphi}

Ejendomme

• Forholdet "at være en konsekvens af" er refleksiv og transitiv  : det er en forudbestilling .
• Enhver række værdier i et totalt ordnet sæt indrømmer en monoton efterfølgende (i vid forstand).

Demonstration

Lad ( x n ) være en sådan sekvens.

Vi siger, at et indeks n er en top, hvis det opfylder x m <x n for alle m> n .

Der er derefter to tilfælde:

1. eller der er en uendelighed af toppe. I dette tilfælde danner den tilsvarende x n en (strengt) faldende efterfølgende;
2. eller der er kun et begrænset antal toppe. Vi ”vælg” et indeks p 0 strengt større end alle toppene, derefter et indeks p 1 > p 0 , således at x s 1 ≥ x p 0 , derefter p 2 > s 1 , således at x p 2 ≥ x s 1 ,  etc ... Vi bygger således en stigende konsekvens (i bred forstand).

Vi udleder, at enhver afgrænset rækkefølge af realer indrømmer en konvergerende efterfølgende ( jf. Bolzano-Weierstrass sætning ).

• Lad være en sekvens af elementer i et topologisk rum X, der konvergerer mod , derefter enhver ekstraheret sekvens af konvergerer mod  ; ved kontraposition , når X er adskilt eller mere generelt med en enkelt sekventiel grænse , hvis to sekvenser ekstraheret fra har forskellige grænser, divergerer sekvensen .(uikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} ℓ{\ displaystyle \ ell}(uikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}ℓ{\ displaystyle \ ell}(uikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(uikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
• De grænser for de konvergerende sub-sekvenser af en sekvens af et topologisk rum X er værdier af adhærens af sekvensen . Hvis X er metrisk eller mere generelt med tællbare baser af kvarterer , er det omvendte sandt: enhver vedhæftningsværdi af en sekvens er grænsen for en af ​​dens efterfølgende.(uikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(uikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Noter og referencer

1. Jean-Marie Monier, MPSI- analyse  : Kursus, metoder og korrigerede øvelser , Paris, Dunod ,2006, 5 th  ed. , 525  s. ( ISBN  978-2-10-049837-6 ).
2. Denne demonstration - inklusive terminologien "peak" ( peak points ) - præsenteres i tilfælde af rigtige sekvenser af (i) Michael Spivak , Calculus ,1967( læs online ) , kap.  21 ("Uendelige sekvenser") , s.  378( s.  451 i 2006-udgaven på Google Books ). Med henvisning til dette bevis kalder nogle forfattere Den tilsvarende egenskab "Peak Lemma". Når vi ikke ved, om den betragtede sekvens indrømmer en uendelighed af toppe eller ej, giver dette bevis ikke en metode til at opbygge en monoton undersekvens.
3. En variant ville være at bruge begrebet "punkt synligt fra linjen" , som i limmet om den stigende sol , (her: indeks n, der verificerer x m ≤ x n for alle m> n ). Vi konstruerer derefter enten en faldende konsekvens i bred forstand eller en strengt stigende konsekvens.
4. Vi kan foretage successive valg af p k uden at ty til det afhængige valgaksiom ved simpelthen ved hvert trin at vælge den mindst mulige p k .

Relaterede artikler

• Generaliseret efterfølgende  (en)
• Higmans lemma

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">