Kelvin-Bessel-funktion
Den indeholder Kelvin-Bessel er matematiske funktioner opnået fra Bessel funktioner , idet som argument for sidstnævnte den kvadratroden af en række imaginær ren.
De bruges i elektromagnetisme til at studere løsningerne på Maxwells ligninger i ledende felter med cylindrisk form.
Definition
Vi definerer to familier af Kelvin-Bessel-funktioner. Den første familie består af to funktioner og rækkefølge , der er relateret til Bessel-funktionerne af den første slags:
berv{\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {\ nu}}
bejegv{\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {\ nu}}
v{\ displaystyle \ nu}
Jv(ejeg3π/4x)=berv(x)+jegbeiv(x){\ displaystyle J _ {\ nu} (e ^ {i \, 3 \, \ pi / 4} \, x) = \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {bei } _ {\ nu} (x)}
En anden måde at definere disse funktioner på er at skrive dem som en serie :
berv(x)=∑s=0∞cosπ(3v4+s2)s!Γ(v+s+1)(x2)2s+v{\ displaystyle \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ pi \, ({\ frac {3 \, \ nu } {4}} + {\ frac {p} {2}})} {p! \, \ Gamma (\ nu + p + 1)}} \ venstre ({\ frac {x} {2}} \ højre ) ^ {2p + \ nu}}
beiv(x)=∑s=0∞syndπ(3v4+s2)s!Γ(v+s+1)(x2)2s+v{\ displaystyle \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ pi \, ({\ frac {3 \, \ nu } {4}} + {\ frac {p} {2}})} {p! \, \ Gamma (\ nu + p + 1)}} \ venstre ({\ frac {x} {2}} \ højre ) ^ {2p + \ nu}}
Den anden familie består af to andre funktioner og rækkefølge , relateret til modificerede Bessel-funktioner af den anden art:
kerv{\ displaystyle \ mathrm {ker} _ {\ nu}}
kejegv{\ displaystyle \ mathrm {kei} _ {\ nu}}
v{\ displaystyle \ nu}
e-jegπv/2Kv(ejegπ/4x)=kerv(x)+jegkeiv(x){\ displaystyle e ^ {- i \, \ pi \, \ nu / 2} \, K _ {\ nu} (e ^ {i \, \ pi / 4} \, x) = \ operatornavn {ker} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {kei} _ {\ nu} (x)}
Nogle egenskaber
Grafisk repræsentation
Kelvin-Bessel-funktionerne i orden , mere enkelt bemærket og er repræsenteret i følgende figur for små værdier på :
v=0{\ displaystyle \ nu = 0}
ber(x){\ displaystyle \ mathrm {ber} (x)}
bejeg(x){\ displaystyle \ mathrm {bei} (x)}
x{\ displaystyle x}
Funktionerne og er løsninger til følgende specielle Bessel-ligning:
berv{\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {\ nu}}bejegv{\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {\ nu}}
x2d2ydx2+xdydx-(jegx2+v2)y=0{\ displaystyle x ^ {2} \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + x \, {\ frac {\ mathrm {d } y} {\ mathrm {d} x}} - (i \, x ^ {2} + \ nu ^ {2}) \, y = 0}
hvis generelle løsning er skrevet
y(x)=berv(x)+jegbeiv(x){\ displaystyle y (x) = \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x)}
.
∫berv(x)x1+vdx=-x1+v2(berv+1(x)-beiv+1(x)){\ displaystyle \ int \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) \, x ^ {1+ \ nu} \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {x ^ {1+ \ nu} } {\ sqrt {2}}} \, (\ operatorname {ber} _ {\ nu +1} (x) - \ operatorname {bei} _ {\ nu +1} (x))}
∫beiv(x)x1+vdx=x1+v2(berv+1(x)-beiv+1(x)){\ displaystyle \ int \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x) \, x ^ {1+ \ nu} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x ^ {1+ \ nu}} {\ sqrt {2}}} \, (\ operatorname {ber} _ {\ nu +1} (x) - \ operatorname {bei} _ {\ nu +1} (x))}
Referencer
- A. Angot, matematiske kosttilskud til brug for ingeniører i elektroteknik og telekommunikation , 6 th udgave, Masson, Paris, 1972.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">