I nummer teori , den Mertens funktionen er
hvor μ er Möbius-funktionen .
Mindre formelt er M ( n ) antallet af heltal kvadratfrit mindre end eller lig med n, og antallet af primfaktorer er lige , mindre antallet af heltal uden lavere kvadratfaktor eller lig med n, og antallet af primfaktorer er ulige.
Da Möbius-funktionen kun tager værdierne –1, 0 og +1, er det indlysende, at der ikke er nogen x sådan, at | M ( x ) | > x . Den Mertens formodninger (1897) går endnu længere, om, at der ville være nogen x hvor den absolutte værdi af Mertens funktion overstiger kvadratroden af x .
Andrew Odlyzko og Herman te Riele viste i 1985, at denne formodning var forkert. Deres bevis producerede ikke en udtrykkelig modeksempel, men vi ved nu, at den mindste modeksempel er større end 10 14 og mindre end exp (1.59.10 40 ).
Ikke desto mindre svarer Riemann-hypotesen til en svagere formodning om væksten af M ( x ) eksplicit: for alle ε> 0, M ( x ) = O ( x 1 ⁄ 2 + ε ), hvor O betegner Landau-notationen . Da M- toppe vokser mindst lige så hurtigt som kvadratroden af x , lægger dette en ret stram grænse for vækstraten.
Ved hjælp af Eulerian-produktet finder vi det
hvor ζ er Riemann zeta-funktionen, og produktet overtages primtalene . Så ved at bruge denne Dirichlet-serie med Perrons formel får vi:
hvor C er en lukket kurve, der omkranser alle rødderne til ζ .
Omvendt har vi Mellin-transformationen
som forbliver gyldig for Re ( s )> 1.
En god evaluering, i det mindste asymptotisk, ville være at opnå gradvis algoritme en ulighed:
Mertens-funktionen blev beregnet for et stadig større interval på n .
Ingen | År | Begrænse |
---|---|---|
Mertens | 1897 | 10 4 |
von Sterneck | 1897 | 1,5 × 10 5 |
von Sterneck | 1901 | 5 × 10 5 |
von Sterneck | 1912 | 5 × 10 6 |
Neubauer | 1963 | 10 8 |
Cohen og kjole | 1979 | 7,8 × 109 |
Kjole | 1993 | 10 12 |
Lioen og månebil | 1994 | 10 13 |
Kotnik og Moon van | 2003 | 10 14 |
Hurst | 2016 | 10 16 |