Kvasi-konveks funktion
I matematik er en kvasi-konveks funktion en reelle værdi , defineret på et konveks sæt af et reelt vektorrum , således at det gensidige billede af ethvert sæt af formen er konveks eller endda sådan, at på ethvert segment , jo større Funktionens værdi nås i den ene ende. Det modsatte af en kvasi-konveks funktion siges at være kvasi-konkav .
]-∞,på]{\ displaystyle \ left] - \ infty, a \ right]}![{\ displaystyle \ left] - \ infty, a \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7bad9637fcfe3b4ba72d9fa4cc7c2a25783342)
Enhver konveks er kvasi konveks men det omvendte er falsk: for eksempel enhver monoton funktion på en reel interval er kvasi lineær , det vil sige både kvasi konveks og kvasi konkave.
Definition og egenskaber
En funktion defineret på en konveks del C af et ægte vektorrum E siges:
f:VS→R{\ displaystyle f: C \ til \ mathbb {R}}![{\ displaystyle f: C \ til \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00eb4229ef7a643eb7ffc09fecd307eaddba6b6)
- kvasi-konveks hvis en eller anden reel , det sæt af underniveauer er konveks eller, hvilket er ækvivalent, hvispå{\ displaystyle a}
{x∈VS∣f(x)≤på}{\ displaystyle \ {x \ i C \ mid f (x) \ leq a \}}
∀x,y∈VS∀z∈[x,y]f(z)≤maks(f(x),f(y)){\ displaystyle \ forall x, y \ i C \ quad \ forall z \ i \ left [x, y \ right] \ quad f (z) \ leq \ max \ left (f (x), f (y) \ ret)}
;
-
strengt kvasi-konveks, hvis vi endda har:
∀x,y∈VS∀z∈]x,y[f(z)<maks(f(x),f(y)){\ displaystyle \ forall x, y \ i C \ quad \ forall z \ in \ left] x, y \ right [\ quad f (z) <\ max \ left (f (x), f (y) \ right )}
;
- kvasi konkav, hvis dets modsatte er kvasi konveks, det vil sige hvis
∀x,y∈VS∀z∈[x,y]f(z)≥min(f(x),f(y)){\ displaystyle \ forall x, y \ i C \ quad \ forall z \ in \ left [x, y \ right] \ quad f (z) \ geq \ min \ left (f (x), f (y) \ ret)}
;
-
strengt kvasi-konkav, hvis dets modsatte er strengt kvasiskonveks, dvs. hvis
∀x,y∈VS∀z∈]x,y[f(z)>min(f(x),f(y)){\ displaystyle \ forall x, y \ i C \ quad \ forall z \ in \ left] x, y \ right [\ quad f (z)> \ min \ left (f (x), f (y) \ right )}
.
Enhver lineær form er kvasi lineær, det vil sige både kvasi konveks og kvasi konkav.
En (strengt) kvasi-konveks funktion er (strengt) konveks på den nedre del af konturen ( Adhæsion, indre og kant af en konveks ), mens en (strengt) kvasi-konkav funktion er (strengt) konveks på den øverste del af konturen.
En funktion, der er defineret i et interval, er næsten konveks, hvis og kun hvis den er monoton eller "faldende og stigende", det vil sige, hvis den findes i to komplementære intervaller (den ene af de to er i stand til at være tom), således at enten falder på og øges . Ligeledes er det næsten konkavt, hvis og kun hvis det er monotont eller "stigende og derefter faldende". Det er derfor næsten lineært, hvis og kun hvis det er monotont.
f{\ displaystyle f}
jeg⊂R{\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}
jeg{\ displaystyle I}
jeg1<jeg2{\ displaystyle I_ {1} <I_ {2}}
f{\ displaystyle f}
jeg1{\ displaystyle I_ {1}}
jeg2{\ displaystyle I_ {2}}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
Hvis en funktion, der har et globalt maksimum ved et punkt m af den konvekse, er næsten konkav, er den unimodal (in) , dvs. stigende langs ethvert orienteret segment, der slutter med m . Det omvendte er sandt hvis (ifølge den foregående karakterisering af kvasi konkaviteten i dette tilfælde), men man bygger let på en unimodal funktion og ikke kvasi konkav.
VS⊂E{\ displaystyle C \ delmængde E}
E=R{\ displaystyle E = \ mathbb {R}}
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}![\ mathbb {R} ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd)
Interessen for konceptet
Ved optimering kan problemer med kvasi-konvekse objektive funktioner løses med de samme metoder som konvekse objektive funktioner. Især i tilfælde af ubegrænsede problemer eller med et tilladt konveks sæt er ethvert lokalt minimum et globalt minimum , undtagen hvis funktionen er konstant i nærheden af dette punkt. De afstamning algoritmer kan "fanget" af en sådan "horisontal bakke."
Noter og referencer
(
fr ) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på
engelsk med titlen
" Quasiconvex-funktion " ( se listen over forfattere ) .
-
Øvelse korrigeret fra lektionens kapitel "Konveksitet" om funktionerne i en reel variabel på Wikiversity .
-
, th. 4.9.11.
-
(in) " Hvordan bevises kvasi-konveks, hvis og kun hvis unimodal? » , På math.stackexchange.com ,september 2015.
-
(i) Harvey J. Greenberg og WP Pierskalla, " En gennemgang af næsten konvekse funktioner " , Operations Research , Vol. 19, nr . 7,1971, s. 1553-1570 ( læs online ) : Tabel II s. 1560 , 11.b.
Se også
Bibliografi
- (en) Mordecai Avriel, Walter E. Diewert (en) , Siegfried Schaible og Israel Zang, Generalized Concavity , SIAM , coll. "Klassikere i anvendt matematik" ( nr . 63),2010( 1 st ed. 1988) ( læst linie ) , kap. 3
- ( fr ) Stephen Boyd og Lieven Vandenberghe , kap. 3.4 "Quasiconvex-funktioner" , i Convex Optimization , Cambridge Press University,2004, 730 s. ( ISBN 978-0-521-83378-3 , læs online ) , s. 95-103
- (en) Jean-Pierre Crouzeix, "kvasi-konkavitet" , i SN Durlauf og LE Blume, The New Palgrave Dictionary of Economics , Palgrave Macmillan ,2008, 2 nd ed. ( DOI 10.1057 / 9780230226203.1375 , læs online )
-
(en) Ivan Singer, Abstract Convex Analysis , Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, John Wiley & Sons, New York, 1997. xxii + 491 s. ( ISBN 0-471-16015-6 )
- (en) Maurice Sion, " Om generelle minimax-sætninger " , Pacific J. Math. , Vol. 8,1958, s. 171-176 ( læs online )
eksterne links
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">