I matematik er en monoton funktion en funktion mellem ordnede sæt, der bevarer eller vender ordren. I det første tilfælde taler vi om en stigende funktion og i den anden om en faldende funktion . Dette koncept optrådte først i reel analyse for numeriske funktioner og blev derefter generaliseret i den mere abstrakte ramme for ordre teori .
Intuitivt (se figurerne overfor) er den grafiske repræsentation af en monoton funktion over et interval en kurve, der konstant "går op" eller "går ned" konstant. Hvis dette grafiske aspekt straks er meningsfuldt, er det dog ikke den eneste form, hvor monotoniens egenskab afsløres: en monoton funktion er en funktion, der altid har den samme effekt på ordenens forhold . For en stigende funktion findes rækkefølgen mellem to variabler i rækkefølgen af deres billeder . For en faldende funktion vendes rækkefølgen af billederne sammenlignet med rækkefølgen af fortilfælde .
For en funktion, der kan differentieres over et interval , er studiet af monotoni knyttet til studiet af derivatets tegn, som er konstant: altid positiv eller altid negativ.
Lad jeg et interval på ℝ og f en funktion med reelle værdier, det domæne af definitionen indeholder intervallet jeg .
Monotoni i vid forstand. Vi siger, at f er:
Eksempel : for ethvert reelt x , lad os her betegne E ( x ) heltalets del af x (det er det unikke relative heltal k, således at k ≤ x <k + 1). Funktionen E: ℝ → ℝ stiger på ℝ men stiger ikke strengt (jf. Infra ), fordi den er konstant i hvert interval [ i , i + 1 [af heltalets ender.
Streng monotoni. Vi siger, at f er:
Eksempler : lad n være et strengt positivt heltal.
Note 1 : for en funktion f er stigende (hhv Strengt stigende.) Om jeg er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at - f eller faldende (strengt aftagende hhv.) Ved jeg .
Bemærkning 2 : så en monoton funktion f fra I i ℝ ikke er strengt, det er nødvendigt (og selvfølgelig er det tilstrækkeligt), at jeg indeholder et ikke-trivielt interval (dvs. ikke-frit og ikke reduceret til et punkt), hvor f er konstant.
Givet to stigende funktioner på jeg . Så:
Vi har en analog egenskab til strengt stigende funktioner.
SammensætningLad f være to funktioner : I → ℝ og g : J → ℝ, hvor I og J er to reelle intervaller, således at f ( I ) ⊂ J ; vi kan definere den sammensatte funktion g ∘ f : I → ℝ.
Hvis f er monoton på I og g monoton på J , så g ∘ f er monoton på jeg . Mere præcist :
Vi har en analog egenskab for strengt monotone funktioner.
InjektivitetEn strengt monoton funktion over et interval I er injektionsdygtig , det vil sige at to forskellige elementer i jeg har forskellige billeder.
Faktisk, hvis x , y er to forskellige elementer i jeg har vi (forudsat for eksempel f strengt stigende)
hvis x < y derefter f ( x ) < f ( y ),
hvis x > y så f ( x )> f ( y ),
derfor er f ( x ) og f ( y ) i begge tilfælde forskellige.
Denne egenskab associeret med den mellemliggende værdi sætning er nyttig til at finde antallet af nuller i en funktion .
Lad] a , b [være et åbent interval (afgrænset eller ikke) og en stigende funktion f :] a , b [→ ℝ. Så:
En analog sætning til nedsættelse af funktioner følger straks ved at erstatte f med - f .
En følge af denne sætning er kontinuiteten i enhver monoton overkastning af et interval på et interval .
En anden typisk applikation vedrører fordelingsfunktionerne af tilfældige variabler .
Punkt for diskontinuitetFrodas sætning (1929): sæt D af punkterne for diskontinuitet for en monoton funktion er endelig eller tællelig (vi siger, at den højst kan tælles ). Ved at bemærke ε x = f ( x + ) - f ( x - ) er familien (ε x ) x ∈ D ∩ [ c , d ] af strengt positive realer derfor sammenfattelig i det højeste tællelig for alle [ c , d ] inkluderet i monotonicitetsintervallet. Froda har faktisk vist, at for enhver reel funktion er sæt af punkter af diskontinuitet af den første slags højst tælles. Men for en monoton funktion siger monotone-sætningen nøjagtigt, at denne type diskontinuitet er den eneste mulige.
En klassisk og vigtig anvendelse af differentialregning er karakteriseringen blandt de afledte funktioner (af en reel variabel og med reelle værdier) af dem, der er monotone (i bred forstand eller i streng forstand) over et interval.
Teorem - Lad mig være et ægte interval og f : I → ℝ et differentierbart kort.
Punkt 1 er klassisk (vi bruger passagen til det yderste i uligheder og sætning af endelige trin ).
Punkt 2 kan udledes heraf ved hjælp af bemærkning 2 ovenfor . Detalje: i direkte forstand: Hvis f ' forsvinder over et ikke-trivielt interval, så er f konstant over dette interval, derfor er det ikke strengt monotont. Omvendt, antag at f er monotont, men ikke strengt. Fra bemærkning 2 findes der et ikke-trivielt interval, over hvilket f er konstant; over et sådant interval er f ' nul.
BemærkningerEn stigende funktion kan skelnes næsten overalt (vi viser først - takket være den maksimale ulighed i Hardy-Littlewood - at dens fire Dini-derivater er endelige næsten overalt, så - takket være Vitalis genopretningssætning - at de er en anden metode til dette andet trin er at bevis det i det tilfælde, hvor funktionen er kontinuerlig - takket være den stigende sols lemma - så at bemærke, at enhver stigende funktion er summen af en kontinuerligt stigende funktion og et "funktionshopp", og at sidstnævnte næsten er overalt nul derivat ).
Vi udleder to følger:
En applikation mellem to topologiske rum siges at være monoton, hvis hver af dens fibre er forbundet, det vil sige, at for alt i sættet (som kan være tomt ) er forbundet.
I funktionel analyse kaldes en operator på et topologisk vektorrum (som kan være ikke-lineær) en monoton operator, hvis
De Kachurovskii teorem (da) viser, at derivaterne af konvekse funktioner på Banachrum er monotone operatører.
Ordre teori beskæftiger sig med delvist ordnede sæt og generelle forudbestilte sæt , ud over intervaller af reals. Ovenstående definition af monotoni er også relevant i disse tilfælde. Overvej f.eks. En kortlægning f fra et ordnet sæt ( A , ≤ A ) til et ordnet sæt ( B , ≤ B ).
Monotone applikationer er centrale i rækkefølge teori. Nogle bemærkelsesværdige monotone applikationer er ordens indlejringerne (ansøgninger, for hvilke x ≤ y hvis og kun hvis f ( x ) ≤ f ( y )) og ordens isomorfier ( ordre indlejringerne som er Surjective).