Subharmonisk funktion

I matematik er en subharmonisk funktion en funktion defineret på et område af det komplekse plan og med reelle værdier, der opfylder visse betingelser for harmonitet svagere end dem, der tilfredsstilles af de harmoniske funktioner . Det er en forestilling indført i harmonisk analyse for at løse det grundlæggende problem kendt som Dirichlet-problemet ; løsning af dette problem ved hjælp af subharmoniske funktioner kaldes Perron (en) metode .

Definition

Lad være et åbent af . En funktion siges at være subharmonisk, hvis den opfylder følgende to egenskaber: $\ Omega$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle u: \ Omega \ rightarrow \] - \ infty, + \ infty [}$ $\ Omega$

$u$ er kontinuerlig.
$u$ har ejendommen til lokalt undergennemsnit : for ethvert punkt kan vi finde sådan, at: ${\ displaystyle z_ {0} \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle r_ {0}> 0}$ ${\ displaystyle u (z_ {0}) \ leq \ int _ {0} ^ {2 \ pi} u (z_ {0} + re ^ {it}) {\ frac {dt} {2 \ pi}}}$ for alt . ${\ displaystyle r <r_ {0}}$

Nogle gange finder vi en anden definition, der kræver, at funktionen er semi-kontinuerlig overlegen . $u$

Nogle egenskaber

Udover analogien med ligestillingen af middelværdien verificerer de subharmoniske funktioner et bestemt antal egenskaber, der skal sammenlignes med de for de harmoniske funktioner:

den princip af den maksimale : på nogen relativt kompakt del i , hvis maksimum på adhæsion af nås på kanten ; og hvis indrømmer et globalt maksimum på , så er det konstant. På den anden side er der intet minimumsprincip. $\ omega$ $\ Omega$ $u$ $\ omega$ $u$ $\ Omega$
de subharmoniske funktioner på er karakteriseret blandt de kontinuerlige funktioner som dem, der verificerer princippet om maksimum på enhver relativt kompakt disk i . $\ Omega$ $\ Omega$
En interessant egenskab i sammenhæng med hårde rum er følgende: Hvis er en stigende konveks funktion, og hvis er en subharmonisk funktion, så er subharmonisk. ${\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $u$ ${\ displaystyle \ varphi \ circ u}$

Den centrale sætning for at bruge disse funktioner i harmonisk analyse er at sige, at hvis en familie af subharmoniske funktioner i et domæne er stabil ${\ mathcal {F}}$ $\ Omega$

ved maksimum (hvis , så ) og ${\ displaystyle u, v \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ max (u, v) \ i {\ mathcal {F}}}$
af modificeret Poisson (hvis og hvis er en relativt kompakt disk i , center , Poisson modificeret i det er den funktion , som kontrollerer om og : er stadig i ) ${\ displaystyle u \ i {\ mathcal {F}}}$ $\ Delta$ $\ Omega$ $på$ $u$ $\ Delta$ ${\ tilde {u}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {u}} = u}$ ${\ displaystyle \ Omega - \ Delta}$ $\ Delta$ ${\ displaystyle {\ tilde {u}} (a + z) = \ mathrm {Re} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {e ^ {it} + z} {e ^ {it} -z}} u (a + e ^ {it}) \ mathrm {d} t \ right)}$ ${\ mathcal {F}}$

så er den øvre grænse for elementerne i enten konstant lig med eller en harmonisk funktion på . ${\ mathcal {F}}$ $+ \ infty$ $\ Omega$

For at demonstrere Dirichlets princip placerer vi os selv på et domæne, hvis kant er regelmæssig, forsynet med en kontinuerlig funktion på kanten, og vi tager familien af subharmoniske funktioner på øget med på kanten af : terminalens overlegenhed for denne familie er derefter en løsning. $\ Omega$ $\ phi$ ${\ mathcal {F}}$ $\ Omega$ $\ phi$ $\ Omega$