Holomorf funktion

I kompleks analyse er en holomorf funktion en funktion med komplekse værdier , defineret og differentierbar på ethvert punkt i en åben delmængde af det komplekse plan ℂ.

Denne tilstand er meget stærkere end den reelle afledelighed . Det antyder (via Cauchy teori), at funktionen er analytisk : den er uendeligt differentierbar og er lig med kvarteret i ethvert punkt i det åbne til summen af sin Taylor-serie . En bemærkelsesværdig kendsgerning følger: forestillingerne om kompleks analytisk funktion og holomorf funktion falder sammen. Af denne grund udgør holomorfe funktioner den centrale søjle i kompleks analyse.

Definition

Definition - Lad være et åbent sæt af sættet med komplekse tal og et kort over in . $U$ $\ mathbb {C}$ $f$ $U$ $\ mathbb {C}$

Vi siger, at er differentiabel (i komplekset forstand) eller holomorf i et punkt på hvis følgende grænse , kaldet derivat af i findes: $f$ $z_0$ $U$ $f$ $z_0$
${\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ to z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) \ over z-z_ {0}}.}$
Vi siger, at det er holomorft, om det er holomorft på et hvilket som helst tidspunkt . $f$ $U$ $U$
Især kalder vi et heltal funktion en holomorf funktion på . $\ mathbb {C}$

Det bemærkes, at visse forfattere kræver, at den således opnåede funktion er kontinuerlig. Det er faktisk kun en måde at forenkle demonstrationer på; faktisk, den definition, der præsenteres her, indebærer alligevel dens kontinuitet (i kraft af Moreras sætning ). $f '$

Eksempler

Rationelle funktioner

Enhver polynomfunktion med koefficienter- kompleks er komplet.

Enhver rationel funktion med komplekse koefficienter er holomorf på komplementet af sættet af dens poler (det vil sige nuller til dens nævneren, når den er skrevet i irreducerbar form). For eksempel er den omvendte funktion holomorf på *. ${\ displaystyle z \ mapsto 1 / z}$ $\ mathbb {C}$

Funktioner defineret af en hel serie

Lad være en hel serie med komplekse koefficienter med ikke-nul konvergensradius (endelig eller ej); vi betegner dens konvergensdisk. Funktionen af i defineret er holomorf og for alle , faktisk er denne funktion uendelig differentierbar på . ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}$ $D$
$f$ $D$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}$ ${\ displaystyle z \ i D}$ ${\ displaystyle f '(z) = \ sum _ {n \ geq 1} na_ {n} z ^ {n-1}}$ $D$

Den eksponentielle funktion er heltal. Det er det samme for trigonometriske funktioner (som kan defineres fra den eksponentielle funktion ved hjælp af Eulers formler ) og hyperbolske funktioner .

Kompleks logaritme

Vi kalder bestemmelse af den komplekse logaritme på en åben U af ℂ * en hvilken som helst holomorf funktion $L$ af U i ℂ således at for alle $z \in U$ , $exp ( L ( z )) = z$ eller hvad der er ækvivalent (i tilfælde af en åben forbundet ), en hvilken som helst holomorf $L-$ funktion på U med afledt $z \mapsto1 / z,$ og for hvilken der findes $z 0 \in U$ således, at $exp ( L ( z 0 )) = z 0$ .

På ethvert åbent U af ℂ * hvor der er en bestemmelse $L$ for logaritmen, kan vi for ethvert relativt heltal $k$ definere funktionen $z \mapsto L ( z ) + 2 k πi$ . Hver af disse funktioner er en bestemmelse af logaritmen over U , og hvis U er forbundet , er de de eneste.

Der er ingen bestemmelse af logaritmen i det fri *.

Der findes en bestemmelse af logaritmen på enhver åbning af typen ℂ * \ D hvor D er en halvlinie af of med slutningen 0 (vi taler om " klipning "), især på sættet med private komplekse tal fra halvdelen -linje af negativ eller nul real. Blandt alle bestemmelserne i logaritmen på dette åbne, er der en og én, der udvider den virkelige naturlige logaritme .

Mere generelt er der en bestemmelse af logaritmen på enhver åben logaritme, der simpelthen er forbundet og ikke indeholder 0.

Power og nth root-funktioner

På en hvilken som helst åben U af ℂ * hvor der er en bestemmelse $L$ for logaritmen, kan vi for ethvert komplekst tal $a$ definere en holomorf bestemmelse af U af eksponentens $a$ ved at indstille for alle $z \in U$ , $z a = exp ( a L ( z ))$ .

Især for ethvert heltal $n > 0$ verificerer funktionen $z \mapsto z 1 / n = exp ((1 / n ) L ( z ))$ identiteten ∀ $z \in U , ( z 1 / n ) n = z$ . Det siges, at denne funktion er en bestemmelse af U for roden $n-$ th . Vi kan betegne $n \sqrt z i$ stedet for $z 1 / n$ (hvis strengt positive realer hører til U , kan der være en konflikt mellem denne notation og dens sædvanlige betydning, der tjener til at betegne den positive $nth$ rod ).

Gensidige trigonometriske funktioner har ligeledes snit og er holomorfe overalt undtagen ved snit.

Komplekse derivater

Reglerne for beregning af derivater i kompleks forstand er identiske med reglerne for derivater af funktionerne i en reel variabel : linearitet , derivat af et produkt , af et kvotient, af en sammensat funktion. Det følger heraf, at summen, produkterne eller sammensat af holomorfe funktioner er holomorfe, og kvotienten af to holomorfe funktioner er holomorf på ethvert åbent sted, hvor nævneren ikke forsvinder.

En holomorf funktion på et punkt er fortiori kontinuerlig på dette tidspunkt.

Nær et punkt $z 0,$ hvor derivatet af en holomorf funktion $f$ er ikke-nul, $f$ er en konform transformation , dvs. det bevarer de (orienterede) vinkler og formerne for små figurer (men ikke længder generelt).

Faktisk er dens differentiale ved punktet $z 0$ det ℂ-lineære kort , hvor : differencen identificeres således med en direkte lighed med planet, da A ikke er nul. ${\ displaystyle df_ {z_ {0}}: \ mathbb {C} \ til \ mathbb {C}, \, u \ mapsto A \, u}$ $A = f '(z_ {0})$

Ejendomme

Cauchy-Riemann ligninger

Hvis vi identificerer ℂ med ℝ 2, falder de holomorfe funktioner på et åbent sæt af ℂ sammen med funktionerne i to reelle variabler, der er different-differentierbare på dette åbne sæt og verificerer der Cauchy-Riemann-ligningerne, et system med to ligninger med delvise derivater :

Vi betragter en funktion af en kompleks variabel, hvor $U$ er et åbent sæt af det komplekse plan ℂ. Følgende notationer bruges her: ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$

den komplekse variabel er betegnet , hvor x , y er reel; $z$ $x + {{\ rm {i}}} \, y$
de reelle og imaginære dele af betegnes henholdsvis, og det vil sige :, hvor er to reelle funktioner af to reelle variabler. $f (z) = f (x + {{\ rm {i}}} \, y)$ $P (x, y)$ $Q (x, y)$ $f (z) = P (x, y) + {{\ rm {i}}} \, Q (x, y)$ $P, \, Q$

Cauchy-Riemann-ligninger - Hvis $f$ er different-differentierbar ved et punkt $z 0$ af $U$ , er følgende fire egenskaber ækvivalente:

$f$ er holomorf i $z 0$
${\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0})$
${\ frac {\ partial P} {\ partial x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ partial Q} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0} )$ og ${\ frac {\ partial P} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} (x_ {0}, y_ {0 })$
$\ overline \ delvis f (z_ {0}) = 0$ hvor differentieringsoperatøren pr. definition er lig med . $\ overline \ delvis$ ${\ frac 12} \ left ({\ frac \ partial {\ partial x}} + {{\ rm {i}}} {\ frac \ partial {\ partial y}} \ right)$

Bemærk, når $f$ er holomorf i $z 0$ :

{\ displaystyle \ f '(z_ {0}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0}) = - {\ rm {i}} \, {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0})}

{\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ partial f (z_ {0})}

hvor differentieringsoperatøren pr. definition er lig med .

\ delvis

{\ frac 12} \ left ({\ frac \ partial {\ partial x}} - {{\ rm {i}}} {\ frac \ partial {\ partial y}} \ right)

Forbindelser mellem holomorfe og harmoniske funktioner

Vi viser yderligere, at holomorfe funktioner er af klasse (se Cauchys integrerede formel). $C ^ {\ infty}$

En konsekvens af Cauchy-Riemann-ligningerne er, at laplacerne i den virkelige del og den imaginære del af en holomorf funktion $f$ er nul:

Hvis de reelle og imaginære dele af betegnes henholdsvis og , dvs. hvis :, hvor er to reelle funktioner af to reelle variabler, har vi: $f (z) = f (x + {{\ rm {i}}} \, y)$ $P (x, y)$ $Q (x, y)$ $f (z) = P (x, y) + {{\ rm {i}}} \, Q (x, y)$ $P, \, Q$

\ \ Delta P = \ Delta Q = 0

Vi siger det og er harmoniske funktioner . $P$ $Spørgsmål$

Vi har også:

{\ frac {\ partial P} {\ partial x}} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} {\ frac {\ partial Q } {\ partial y}} = 0

$P$ og kaldes konjugerede harmoniske . $Spørgsmål$

Vi har en omvendt:
enhver reel harmonisk funktion af den komplekse variabel er lokalt den reelle del af en holomorf funktion.

Cauchys integrerede sætning

Cauchy-Riemann-ligningerne gør det muligt at bevise Goursat-lemmaet , som i det væsentlige er Cauchy-integrationssætningen nedenfor i det særlige tilfælde af en polygonal blonder og udlede deraf:

Cauchy integreret sætning - Lad $γ være$ en ensrettet sløjfe i ℂ og $f$ en holomorf funktion på et simpelt tilsluttet åbent sæt indeholdende $γ$ , så er den krøllede integral af $f$ på $γ$ nul:

\ int _ {\ gamma} f (z) ~ {\ mathrm d} z = 0.

Denne sætning forbliver gyldig, hvis funktionen ved et begrænset antal punkter i det åbne ikke formodes at være holomorf, men kun kontinuerlig.

I særdeleshed :

hvis $γ$ er en simpel sløjfe derefter, ifølge Jordan-Schoenflies sætning er det grænse af en tilsluttet og simpelthen forbundet kompakt K , og sætningen anvender derefter (hvis $γ$ er berigtiges) til enhver holomorf funktion på en åben ene indeholdende K ;
hvis $f$ er holomorf på en åben $U$ og hvis $γ$ og $Γ$ er to strengt homotop berigtiges stier i $U$ derefter integralerne af $f$ på $γ$ og $Γ$ er lige.

Vi kan undgå at bruge Goursats lemma, men på bekostning af en yderligere hypotese:

Direkte bevis under den supplerende hypotese, at

f

er i klasse C 1 stykkevis

Som i beviset ved hjælp af Goursats lemma reducerer vi (ved tilnærmelse og derefter skæring ) til det tilfælde, hvor sløjfen $γ$ er en simpel polygon . The Green's sætning , sluttede sig til Cauchy-Riemann og derefter til at konkludere: hvis $D$ betegner polygonets inderside,

\ int _ {\ gamma} f (z) ~ {\ mathrm d} z = \ int _ {\ gamma} (f {\ mathrm d} x + if {\ mathrm d} y) = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial if} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) ~ {\ mathrm d} x {\ mathrm d} y = \ iint _ {D} 0 ~ {\ mathrm d} x {\ mathrm d} y = 0.

Denne sætning generaliseres af restsætningen til holomorfe funktioner med isolerede singulariteter .

Primitiv af en holomorf funktion

Fra ovenstående sætning udleder vi :

Ejendom - Lad

f være

en holomorf funktion på en åben U tilsluttet og simpelthen forbundet,

z 0

et punkt på U og

F

den funktion, der er defineret på U ved

F (z) = \ int _ {{P (z)}} f (\ xi) ~ {\ mathrm d} \ xi,

hvor

P ( z )

er en hvilken som helst ensrettet sti i U fra

z 0

til

z

. Så

F

er en primitiv kompleks af

f

på U .

Denne sætning forbliver gyldig, hvis funktionen ved et begrænset antal punkter i det åbne ikke formodes at være holomorf, men kun kontinuerlig.

Det er vigtigt, at det åbne simpelthen er forbundet, så integralet af $f$ mellem to punkter afhænger ikke af stien mellem disse to punkter.

For eksempel er funktionen $h : z \mapsto 1 / z$ holomorf over ℂ *, som er forbundet, men ikke blot forbundet. Integralet af $h$ på cirklen af centrum 0 og af radius 1 (krydset i den trigonometriske retning) er værd $2πi$ , men er værd 0 på en lukket sti, der forbinder 1 til sig selv, mens den ikke omgiver 0. På den anden side kan man definer et antiderivativ af $h$ på ethvert enkelt tilsluttet åbent sæt af ℂ * (jf. bestemmelser for den komplekse logaritme i afsnittet "Eksempler" ovenfor ).

Cauchy integreret formel og applikationer

Integreret formel

Lad $f være$ en holomorf funktion på en åben $U$ af ℂ, så hvis C er en positivt orienteret cirkel, centreret i z og inkluderet (såvel som dens indre) i U.

f (z) = {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (\ xi) \ over \ xi -z} ~ {\ mathrm d} \ xi.

Fuld serierepræsentation

Sætning - Lad $f være$ en holomorf funktion på en åben $U$ af ℂ, så $f$ er analytisk på $U$ og for ethvert punkt $z 0$ af $U$ , betegner $R$ den (euklidiske) afstand fra $z 0$ til ℂ \ $U$ :

\ forall z \ i D (z_ {0}, R), ~ ~ f (z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {ikke}

med

\ forall r \ in] 0, R [, \ quad c_ {n} = {\ frac 1 {2 \ pi i}} \ int _ {{C (z_ {0}, r)}} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {{n + 1}}}} ~ {\ mathrm d} w.

Derfor er $f$ uendeligt differentierbar på $U$ , med

{\ displaystyle \ forall z_ {0} \ i U, f ^ {(n)} (z_ {0}) = c_ {n} .n! = {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ int _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} ~ \ mathrm {d} w.}

Bemærkninger:

De Taylor serie i $z 0$ konvergerer på enhver åben plade med centret $z 0$ og inkluderet i $U$ , men kan naturligvis konvergerer på et større skive; for eksempel konvergerer Taylor-serien af logaritmens hovedbestemmelse på enhver disk, der ikke indeholder 0, selvom den indeholder negative realer. Dette er grundlaget for princippet om analytisk udvidelse .
Der er en ækvivalens mellem holomorfi over en åben og analyticitet, analyticitet tydeligt antyder holomorfi.
Enhver holomorf funktion f er en analytisk funktion , derfor er princippet om det maksimale , princippet om isolerede nuller, Cauchy-uligheden verificeret af en holomorf funktion.

Ejerskab af middelværdien

Fra Cauchy's integrerede formel udleder man især, at enhver holomorf funktion på en åbning, der indeholder en lukket skive, bestemmes fuldstændigt inde i denne skive af dens værdier på grænsen til denne: i formlen ovenfor for $c 0$ , ændringen af parameter $w = z 0 + re iθ$ giver:

f (z_ {0}) = {\ frac 1 {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} f (z_ {0} + r {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ theta}}) ~ {\ mathrm d} \ theta.

Interessen for denne formel er i numerisk beregning. Beregningen af en integral er faktisk mere stabil end for derivater.
Dette resultat forbliver tydeligt gyldigt for den virkelige del og for den imaginære del af $f$ , som er harmoniske funktioner .

Maksimalt princip

Lad $f$ en ikke-konstant holomorf funktion på en tilsluttet åbent $U$ . Så $| f |$ indrømmer ingen lokale maksimum på $U$ . Således, hvis $U$ er afgrænset, maksimum for funktionen $f$ er nået på grænsen af $U$ . Med andre ord, på ethvert punkt $z$ i $U$ :

{\ displaystyle | f (z) | \ leq \ sup \ {| f (\ omega) | \ mid \ omega \ in \ partial U \}}

Demonstration

Lad $z 0$ et punkt $U$ . Funktionen $f - f ( z 0 )$ er ikke identisk nul, derfor findes der ved den analytiske fortsættelses entydighed et heltal $k > 0$ og et ikke-nul- kompleks $α$ således at

f (z) = f (z_ {0}) + \ alpha (z-z_ {0}) ^ {k} + (z-z_ {0}) ^ {k} \ varepsilon (z),

hvor $ε$ er en nulgrænsefunktion ved $z 0$ .

Hvis $f ( z 0 ) = 0$ derefter i nabolaget af $z 0$ , $f$ ikke forsvinde.
Hvis $f ( z 0 ) \neq 0$ , lad $β være$ en $k-$ th rod af $f ( z 0 ) / α$ . Så, $f (z_ {0} + t \ beta) = f (z_ {0}) \ venstre (1 + t ^ {k} + t ^ {k} \ varepsilon _ {1} (t) \ højre),$ hvor $ε 1$ er en funktion af nulgrænsen ved 0, så for enhver reel $t > 0, som$ er lille nok $| f ( z 0 + t β) | > | f ( z 0 ) |$ .

I begge tilfælde således $| f |$ tillader ikke et lokalt maksimum i $z 0$ .

Konvergerende sekvenser af holomorfe funktioner

Hvis en sekvens ( $f j$ ) af holomorfe funktioner konvergerer til en funktion $f$ , ensartet over en hvilken som helst kompakt af det åbne $U$ af ℂ, så er $f$ holomorf, og for alle $k$ konvergerer sekvensen ( $f j ( k )$ ) af derivater til $f (k)$ , ensartet på kompakt $U$ .

Laurents udvikling omkring et entydigt punkt

Sætning - Lad $f være$ en holomorf funktion på $U \ A$ med $U$ et åbent sæt af ℂ og $A$ en lukket delmængde af U, hvis elementer er isoleret (A er sættet med entalpunkter eller isolerede singulariteter af $f$ i $U$ ).

Derefter, omkring hvert punkt $z 0$ af $U$ , $f$ optager en Laurent ekspansion på en krone med ( betegner euklidiske afstand fra til komplementet af U i ℂ): ${\ displaystyle C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}) \ subset UA}$ ${\ displaystyle 0 <R_ {1} <R_ {2} <d}$ $d$ $z_0$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} -U}$

{\ displaystyle \ forall z \ i C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}), ~ ~ f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

med

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anoint _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {( w-z_ {0}) ^ {n + 1}}}, \ mathrm {d} w \ quad {\ text {hvor}} \ quad R_ {2}> r> R_ {1}}

Bemærkninger:

Notationen betegner summen af de to konvergente serier og . ${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} c _ {- n} (z-z_ {0}) ^ {- n}}$
I tilfælde af en rationel funktion, som man søger at udvikle i nul, beregnes koefficienterne via en klassisk udvikling i serie i nul af de enkle elementer . $c_ {n}$
I praksis kan beregningen af koefficienterne (når som helst) også udføres takket være restsætningen , ofte mere kompliceret end at udvikle rationelle funktioner i serie, men som generelt er enklere end brugen af den direkte formel.
Den rest af f i singularitet er den koefficient . $z_0$ ${\ displaystyle c _ {- 1}}$

Meromorfe funktioner

Beregningen af $c n$ i Laurents udvidelse kan give tre muligheder:

$\ forall n <0, ~~ c_ {n} = 0$ : så kan $f$ udvides til en analytisk funktion på alle punkterne på disken , og disse punkter siges at være regelmæssige . Eksempel på en funktion, der præsenterer sådanne koefficienter: ved 0 er 0 et regelmæssigt punkt på $f$ . $PÅ$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $f (z) = {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {z} -1} z}$
$\ eksisterer p \ i \ mathbb {N}$ sådan, at og vi har : derefter den funktion kan udvides til en analytisk funktion på alle punkter af indhold på disken . Denne sag generaliserer faktisk den første. Disse punkter er poler rækkefølge på de fleste af $f$ , det kan eksistere, der er regelmæssige (rækkefølge 0). Vi siger, at f er en meromorf funktion på U, hvis alle punkterne i A er poler. Eksempler på funktioner, der præsenterer sådanne koefficienter: ved 0 (0 er en rækkefølge k af $f$ ) eller mere generelt de rationelle funktioner ved deres poler. ${\ displaystyle c _ {- p} \ neq 0}$ $\ forall n <-p$ $\ c_ {n} = 0$ $\ (z-z_ {0}) ^ {p} f (z)$ $PÅ$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $s$ $f (z) = {\ frac {1} {z ^ {k}}}$
I de andre tilfælde findes der blandt de punkter, der er indeholdt i disken, mindst et punkt, hvor det ikke er muligt at forsøge en af ovenstående udvidelser. En sådan et punkt af A kaldes ” essentiel ental punkt ” af $f$ . Eksempel: i 0 er 0 et væsentligt entalpunkt af $f$ . $PÅ$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $f (z) = {{\ rm {e}}} ^ {{{\ frac 1z}}}$

Anti-holomorfi

En funktion f ( z ) kaldes anti-holomorf på en åben D hvor f ( z ) er holomorf på den åbne konjugat D . Det er derfor analytisk i z .

En funktion af både holomorf og anti-holomorf på D er lokalt konstant på D , så konstant på enhver relateret til D .

Noter og referencer

Michèle Audin, kompleks analyse ( læs online ) , side 30
Michèle Audin, Analyze Complexe ( læs online ) , s. 58
Faktisk ved vi (a posteriori), at en kompleksværdifunktion kontinuerlig på et åbent af det komplekse plan og holomorfisk på komplementet af en endelig delmængde er holomorf på dette åbne. Vi kan endda erstatte antagelsen om kontinuitet med den at være lokalt afgrænset.
Henri Cartan , Elementær teori om analytiske funktioner i en eller flere komplekse variabler [ detaljer i udgaven ], s. 70 .
Denne demonstration er taget fra Pierre Colmez , Elementer af analyse og algebra (og talteori) , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique,2009, 469 s. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , læs online ) , s. 238. Walter Rudin , ægte og kompleks analyse [ detaljer i udgaver ], 1977, s. 206 giver en anden, baseret på formlen for middelværdien og ligestillingen mellem Parseval , men påpeger også (s. 209), at princippet om det maksimale straks udledes af sætningen om det åbne billede . For et andet bevis, se Cartan , s. 83, og øvelse s. 142 for en generalisering til subharmoniske funktioner .
Rudin , s. 207, th. 10.27 og følge.

Se også

Relaterede artikler

Eksternt link

grafer-funktioner-holomorfe - Matematiske vandringer blandt holomorfe funktioner med understøttende billeder.