Ensartet funktion

I matematik , og mere præcist i kompleks analyse , en holomorf funktion på en åben delmængde af en komplekse plan kaldes en ” monovalent funktion ”, hvis det er injektiv .

Eksempler

Enhver Möbius-transformation af en enhedsdisk, der er åben i sig selv, hvor er univalent. $\ phi _ {a}$ ${\ displaystyle \ phi _ {a} (z) = {\ frac {za} {1 - {\ bar {a}} z}},}$ ${\ displaystyle | a | \ leq 1,}$

Ejendomme

Vi kan vise, at hvis og er to forbundne åbne sæt i det komplekse plan, og $G$ $\ Omega$

{\ displaystyle f: G \ to \ Omega}

er en ensartet funktion således, at (dvs. er en overvejelse , deraf en vedektion ), så afledte af aldrig forsvinder, og den gensidige sammenbinding af , bemærket , også er holomorf. Ifølge den afledte sætning af sammensatte funktioner , ${\ displaystyle f (G) = \ Omega}$ $f$ $f$ $f$ $f ^ {- 1}$

{\ displaystyle (f ^ {- 1}) '(f (z)) = {\ frac {1} {f' (z)}}}

for alle i $z$ $G$

Sammenligning med reelle funktioner

For ægte analytiske funktioner er disse egenskaber ikke længere gyldige. For eksempel, hvis vi overvejer funktionen

{\ displaystyle f: (- 1,1) \ til (-1,1) \,}

givet af ƒ ( x ) = x 3 , er denne funktion trivielt injektionsdygtig. Imidlertid er dets afledte lig med 0 ved x = 0, og dets inverse er hverken analytisk eller endog differentierbar over hele intervallet (-1, 1).

Bibliografi

John B. Conway, Funktioner af en kompleks variabel I , Springer-Verlag, New York, 1978 ( ISBN 0-387-90328-3 )
John B. Conway, Funktioner af One Complex Variable II , Springer-Verlag, New York, 1996 ( ISBN 0-387-94460-5 ) .

Referencer

( fr ) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Univalent function " ( se listen over forfattere ) .