Elementær funktion

I matematik er en elementær funktion en funktion af en variabel konstrueret ud fra et endeligt antal eksponentielle , logaritmer , konstanter og n- th rødder ved komposition og kombinationer ved hjælp af de fire elementære operationer (+ - × ÷). Ved at lade disse funktioner (og konstanter) være komplekse , er trigonometriske funktioner og deres inverser elementære.

Elementære funktioner blev først introduceret af Joseph Liouville i en række publikationer fra 1833 til 1841 . En algebraisk behandling af disse funktioner blev startet af Joseph Ritt i 1930'erne.

Eksempler

Nogle eksempler på elementære funktioner er:

• tilsætning, f.eks. : x + 3;
• multiplikation, f.eks. : 8 x  ;
• (x+synd2⁡x)2(synd⁡(x2)+xsynd⁡(x3)) ;{\ displaystyle \ left (x + \ sin ^ {2} x \ right) ^ {2} \ left ({\ dfrac {\ sin (x ^ {2}) + x} {\ sin (x ^ {3} )}} \ højre) ~;}
• -jegln⁡(x+jeg1-x2).{\ displaystyle - {\ rm {i}} \ ln (x + {\ rm {i}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}).}

To eksempler på ikke- elementære funktioner er den Gaussiske fejlfunktion

erf⁡(x)=2π∫0xe-t2dt{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, \ mathrm {d} t}

og den integrerede sinusfunktion

Ja⁡(x)=∫0xsynd⁡ttdt.{\ displaystyle \ operatorname {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin t} {t}} \ mathrm {d} t.}

Denne kendsgerning er resultatet af Liouville's sætning  ; den Risch algoritmen generelt gør det muligt at afgøre, hvorvidt en given elementær funktion har en elementær primitiv.

Bemærkninger

1. Se især Liouville 1833a , Liouville 1833b og Liouville 1833c .
2. Ritt 1950 .

Referencer

• Joseph Liouville , "  Første afhandling om bestemmelse af integraler, hvis værdi er algebraisk  ", Journal de l'École Polytechnique , bind.  bind XIV, 1833a, s.  124-148 ( læs online ).
• Joseph Liouville , "  Anden afhandling om bestemmelse af integraler, hvis værdi er algebraisk  ", Journal de l'École Polytechnique , bind.  bind XIV, 1833b, s.  149-193 ( læs online ).
• Joseph Liouville , "  Note om bestemmelse af integraler, hvis værdi er algebraisk  ", Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol.  10, 1833c, s.  347-359 ( læs online ).
• Joseph Ritt , Differential Algebra , AMS ,1950( læs online ).
• Maxwell Rosenlicht , "  Integration in finite terms  ", American Mathematical Monthly , bind.  79, n o  9,1972, s.  963–972 ( DOI  10.2307 / 2318066 , JSTOR  2318066 ).

Kreditter

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen "  Elementær funktion  " ( se listen over forfattere ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">