Bilinær ikke-degenereret form

I matematik er en ikke-degenereret bilinær form en bilinær form, hvis to entalrum (til højre og til venstre) reduceres til {0}.

For eksempel er et punktprodukt et specielt tilfælde af en ikke-degenereret bilinær form.

Definitioner

Lad K en krop , E et K - vektorrum venstre, F et K -vector rum til højre og f en bilineær blanket på E × F .

Vi siger, at f er degenereret til højre (hhv. Til venstre ), hvis der findes et ikke-nul element af F (hhv. Af E ), således at det for alle (hhv. For alle ). $y_ {0}$ $x_ {0}$ ${\ displaystyle f (x, y_ {0}) = 0}$ $x \ i E$ ${\ displaystyle f (x_ {0}, y) = 0}$ ${\ displaystyle y \ i F}$
Vi kalder entalrummet til højre for følgende underrum af F : ${\ displaystyle S_ {d} (f) = \ {y \ i F, \ \ forall x \ i E, \ f (x, y) = 0 \}}$
Vi definerer på samme måde entalrummet til venstre ${\ displaystyle S_ {g} (f) \ delmængde E.}$
Vi siger, at f er ikke-degenereret, hvis det er ikke-degenereret til højre og til venstre.

For en vektor $x$ af E , betegner den delvise funktion af $f,$ som associeres . Det er en lineær form over F , derfor et element i den algebraiske dobbelte F * (som ligesom E er et K- vektorrum til venstre). Desuden er kortet over E i F *, som skal associeres , lineært. Ved konstruktion, ${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$ ${\ displaystyle y \ i F}$ $f (x, y)$ ${\ hat {f}}$ $x$ ${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$ ${\ displaystyle S_ {g} (f) = \ ker {\ hat {f}}.}$
Hvis E og F er endelige dimensionelle, hvis og kun hvis , og dette svarer til at sige, at f er ikke-degenereret. ${\ displaystyle S_ {g} (f) = \ {{\ overrightarrow {0}} \}}$ ${\ displaystyle S_ {d} (f) = \ {{\ overrightarrow {0}} \}}$
Når E er en reel vektorrum, enhver positiv ikke-degenereret symmetrisk bilineær form på E × E er defineret (er det derfor en prik produkt ). Dette er en konsekvens af Cauchy-Schwarz ulighed for positive bilineære former.

J.-M. Arnaudiès og H. Fraysse, Matematik kursus 4: Bilinær algebra og geometri , Dunod , 1990
N. Bourbaki , Elements of mathematics , vol. II: Algebra, kapitel 9 , Berlin, Hermann ,1959( genoptryk 2007), 205 s. ( ISBN 978-3-540-35338-6 , online præsentation )