Comatrice

I lineær algebra er comatrixen af en kvadratmatrix $A$ en kvadratmatrix af samme størrelse , hvis koefficienter, kaldet kofaktorerne for $A$ , griber ind i udviklingen af determinanten af $A$ langs en række eller en søjle. Hvis $A$ er en inverterbar matrix , griber dens comatrix også ind i et udtryk for dens inverse.

På denne side $A$ betegner en kvadratisk matrix af orden $n$ med koefficienter i en kommutativ ring $K$ .

Definitioner

Kofaktoren for indeks $i , j$ af $A$ er:

{\ displaystyle \ left (\ operatorname {com} A \ right) _ {i, j}: = \ det \ left (A '_ {i, j} \ right) = (- 1) ^ {i + j} \ det \ left (A_ {i, j} \ right)}

, eller

$A ' i , j$ er den firkantede matrix af størrelse $n$ trukket fra $A$ ved at erstatte $j-$ kolonnen med en kolonne, der kun består af nuller undtagen en $1$ i den $i-$ række;
$A i , j$ er den firkantede undermatrix af størrelse $n - 1$ udledt fra $A$ ved at fjerne $i-$ række og $j-$ kolonne (dens determinant er derfor en af mindreårige i $A$ ).

Den comatrice af $A$ er matricen af dets cofaktorer.

Laplace-formler

Determinanten af $A$ kan beregnes som en funktion af koefficienterne for en enkelt søjle og de tilsvarende medfaktorer. Denne formel, kendt som Laplace's formel, gør det således muligt at reducere beregningen af en determinant af orden $n$ til den for $n$ determinanter af orden $n - 1$ .

Udviklingsformler for en determinant for orden $n$ :

med hensyn til kolonne $j$ : ${\ displaystyle \ det A = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i; j} (\ operatorname {com} A) _ {i, j}}$ ;
med hensyn til linje $i$ : ${\ displaystyle \ det A = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i; j} (\ operatorname {com} A) _ {i, j}}$ .

Generalisering

Følgende formel trækkes fra Laplace-formlerne og inkluderer dem:

{\ displaystyle A \; {} ^ {\ operatorname {t}} \! {\ operatorname {com} A} = \ left ({} ^ {\ operatorname {t}} \! {\ operatorname {com} A} \ højre) \; A = \ venstre (\ det A \ højre) \; \ mathrm {I} _ {n}}

hvor $jeg n$ betegner identitetsmatrixen af samme størrelse $n$ at $A$ .

Den gennemførte matrix af adjugate matrix kaldes komplementær matrix af $A$ . Især hvis $det A$ er inverterbart i $K$ , så er $A$ inverterbart i $M n ( K ),$ og dets inverse er et multiplum af den komplementære matrix, hvilket betyder, at vi har opnået en formel for det inverse, der kræver "kun» Determinantsberegninger:

{\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det A}} \, {} ^ {\ operatorname {t}} \! {\ operatorname {com} A}}

Denne formel har lidt mere end en teoretisk interesse, fordi det i praksis er for tungt til eksplicit at beregne $A -1, så$ snart $n \geq 4,$ og den mere elementære metode baseret på elementære operationer på linierne (inversion af Gaussisk drejning ) er mere effektiv , både for mennesker og maskiner.

Comatrice egenskaber

Kompatibilitet med transponering : $com ( t A ) = t (com A )$ .
Kompatibilitet med produktet : $com I n = I n$ og for alle firkantede matricer $A$ og $B$ i rækkefølge $n$ , $com ( AB ) = (com A ) (com B )$ .
Rang (hvis K er et kommutativt felt ):
- hvis $A$ er af rang $n$ ( dvs. inverterbar $A$ ), $com ( A )$ også;
- hvis $A$ er af rang $n - 1$ , med $n \geq 2$ , er $com ( A )$ af rang 1;
- hvis $A$ er af rang mindre end eller lig med $n - 2$ , $com ( A ) = 0$ .
Determinant: hvis $n \geq 2$ , $det (com A ) = (det A ) n -1$ .
Adjugate matrix af adjugate matrix: hvis $n \geq 2$ , $com (com A ) = (the A ) n -2 A$ .
Hvis $P ( X ) = det ( A - X I n )$ er den karakteristiske polynom af $A,$ og hvis $Q$ er polynomet defineret af $Q ( X ) = ( P (0) - P ( X )) / X$ , så: $t (com A ) = Q ( A )$ .

Demonstrationer

Ligestillingerne $com ( t A ) = t (com A )$ og $com (I n ) = I n$ er umiddelbare.
Produkt: hvis $A$ og $B$ er inverterbare, resulterer formlen i de multiplikative egenskaber ved transponering, inversion (hver af de to inverterer rækkefølgen) og determinanten. Eller ligningen $com ( AB ) = (kom A ) (com B )$ er polynomium med koefficienter heltal i elementerne i de to matricer $A$ og B . Ved at overveje disse $2 n 2$ elementer som de indeterminates af en ring af polynomier med koefficienter i ℤ, og ved at anvende den ovenfor til området af fraktioner ( rationelle med koefficienter i ℚ ) forbundet (hvori $A$ og $B$ er invertibel), vi derfor opnår en "absolut" lighed. Når disse ubestemte derefter erstattes af elementerne i enhver kommutativ ring, opretholdes lighed.
Rang:
- Hvis $A$ er invertibel derefter $kom ( A ) = (the A ) t A -1$ har den inverse $(the A ) -1 t A$ .
- Hvis $A$ er af rang $n - 1$ og antager for eksempel, at dens første $n - 1$ kolonner er lineært uafhængige, og at den sidste er en lineær kombination med koefficienter λ 1 ,…, λ n –1 , så i $com ( A )$ , den sidste kolonne er ikke-nul, og k- th, for alle $k < n$ , er produktet af den sidste med $-λ k$ .
- Hvis $A$ er af rang lavere end $n - 2,$ så er i $A$ alle $n - 1$ kolonner forbundet, så alle medfaktorer er nul.
Determinant: hvis $n \geq 2$ og $A$ er inverterbar, så er $det (com A ) = det [(det A ) t A -1 ] = (det A ) n det ( t A -1 ) = (det A ) n -1$ . For $A$ ikke-inverterbar kan vi gøre det samme "generiske ræsonnement" som for produktet eller - hvis vi er tilfredse med det tilfælde, hvor matricerne har koefficienter i et felt - bemærker mere enkelt, at de to medlemmer er nul i henhold til egenskaberne af rang. For matricer med reelle eller komplekse koefficienter kan man også begrunde efter densitet .
Comatrice's komomatrice: hvis $n \geq 2$ , $(det A ) com (com A ) = A t com A com (com A ) = det (com A ) A = (det A ) n -1 A$ derfor hvis $A$ er inverterbar , $com (kom A ) = (the A ) n -2 A$ . Den generelle sag kommer ned på den invertible sag som ovenfor.
Karakteristisk polynom: ifølge Cayley-Hamilton-sætningen er $P ( A ) = 0$ derfor $A Q ( A ) = P (0) I n = (det A ) I n = A t (com A )$ . Hvis $A$ er inverterbar, udleder vi $Q ( A ) = t (com A )$ . Den generelle sag kommer ned på den invertible sag som ovenfor.

Nogle flere anekdotiske egenskaber

Hvis $n \geq 3$ , er matricerne således, at $A$ $= com$ $A$ er nulmatricen og de ortogonale specialmatricer. Hvis $n$ $= 2$ , er det flere matricer i de ortogonale specialmatricer. ${\ displaystyle A \ i M_ {n} (\ mathbb {R})}$

Eksempler

Størrelse dør (1.1)

Comatrice for en hvilken som helst matrix af størrelse (1,1) er identitetsmatrixen $I 1 = (1)$ .

Størrelse dør (2.2)

{\ displaystyle \ operatorname {com} {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} d & -c \\ - b & a \ end {pmatrix} }}

Størrelse dør (3.3)

{\ displaystyle \ operatorname {com} {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} && a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} && a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} && a_ {33} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} + {\ begin {vmatrix} a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {32} & a_ { 33} \ end {vmatrix}} & - {\ begin {vmatrix} a_ {21} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {33} \ end {vmatrix}} & + {\ begin {vmatrix} a_ {21} & a_ {22} \\ a_ {31} & a_ {32} \ end {vmatrix}} \\ - {\ begin {vmatrix} a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {32} & a_ {33} \ end {vmatrix}} & + {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {13} \\ a_ {31} & a_ {33} \ end {vmatrix}} & - {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {31} & a_ {32} \ end {vmatrix}} \\ + {\ begin {vmatrix} a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {22} & a_ {23} \ end {vmatrix}} & - {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {23} \ end {vmatrix}} & + {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {vmatrix}} \ end {pmatrix}}}

Vi husker det (se determinant ). ${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = ad-bc}$

Variationer af determinantfunktionen

Vi antager her, at $K$ er feltet med reelle tal, og vi er interesserede i det bestemmende kort, set som en funktion af matrixens koefficienter:

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n ^ {2}} \ simeq \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {R}) \ to \ mathbb {R}, \; A \ mapsto \ det A }

De Leibniz formel viser, at det er et polynomium ( homogen ) således uendeligt differentiable .

Vi kan finde og angive denne regularitet takket være Laplace formler ( se ovenfor ): på noget tidspunkt $A$ af M n (ℝ), den funktion $Det$ er affin med hensyn til den variable af indeks $i , j$ , og dets partielle afledede er cofaktor af $A$ med samme indeks:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ det} {\ partial E_ {i, j}}} (A) = (\ operatorname {com} A) _ {i, j}.}$

Vi udlede, stadig ved punkt $A$ , gradienten af $det$ (hvis vi giver M n (ℝ) dets kanoniske skalære produkt ): ${\ displaystyle \ nabla \ det (A) = \ operatorname {com} A}$

eller igen, dens forskel derfor dens udvikling begrænset til rækkefølge 1: ${\ displaystyle \ det (A + H) = \ det A + {\ rm {tr}} \ left (\ left ({} ^ {t} \! \ operatorname {com} A \ right) H \ right) + o \ venstre (\ venstre \ | H \ højre \ | \ højre)}$ .

Især for det tilfælde, hvor $A$ er identitetsmatricen: ${\ displaystyle \ nabla \ det (\ mathrm {I} _ {n}) = \ mathrm {I} _ {n} {\ text {et}} \ det (\ mathrm {I} _ {n} + H) = 1 + {\ rm {tr}} (H) + o (\ | H \ |)}$ .

Comatrice og vektor produkt

Hvis $A$ er en reel matrix af rækkefølge 3, virker den på vektorerne i det orienterede euklidiske rum ℝ 3 . Comatrixen af $A$ beskriver derefter interaktionen mellem $A$ og krydsproduktet :

{\ displaystyle Au \ wedge Av = \ operatorname {com} A \, (u \ wedge v)}

. Demonstration

Betegn prikproduktet. For enhver vektor af vector 3 , $\ cdot$ $x$

{\ displaystyle (\ det A) u \ wedge v \ cdot x = \ det A [u, v, x] = [Au, Av, Ax] = (Au \ wedge Av) \ cdot Ax = {} ^ {\ operatornavn {t}} \! A (Au \ wedge Av) \ cdot x}

Derfor,

{\ displaystyle {} ^ {\ operatorname {t}} \! A (Au \ wedge Av) = (\ det A) u \ wedge v = {} ^ {\ operatorname {t}} \! A \ operatorname {com } A \, (u \ wedge v)}

Vi udleder den meddelte lighed, hvis $A$ er inverterbar.

Resultatet strækker sig til ikke-invertible tæthedsmatricer.

Noter og referencer

Disse væsentlige formler demonstreres i alle lineære algebra lektioner, såsom:
- J.-P. Marco og L. Lazzarini, Matematik L1: komplet kursus med 1000 korrigerede prøver og øvelser , Pearson ,2012( læs online ) , kap. 20 (“Determinants”), s. 541 og 546 ;
- F. Cottet-Emard, lineær og bilinær algebra , De Boeck Supérieur ,2005( læs online ) , kap. 2 ("Determinants"), s. 36 og 42 ;
- kapitlet "Determinant" om Wikiversity.
I den engelsksprogede litteratur omtales den supplerende matrix (transponere af comatrixen) undertiden som "supplerende matrix", hvilket skaber en risiko for forveksling med en anden betydning af supplerende matrix , hvilket betegner transponering af konjugatmatrixen.
Henri Lombardi og Claude Quitté, kommutativ algebra - Konstruktive metoder - Endelige projektionsmoduler , Calvage & Mounet,2016( 1 st ed. 2011) ( arXiv 1611,02942 , online præsentation ) , s. 96-97.