Leibniz's formel
I matematik bærer flere identiteter navnet på Leibniz formel , opkaldt efter matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz :
- i reel analyse :
- i forlængelse heraf betegner Leibnizs formel, også kaldet Leibniz-identitet , en identitet, der definerer begrebet afledning , nemlig: d ( ab ) = (d a ) b + a (d b ) ;
- i lineær algebra giver Leibnizs formel en definition af determinanten for en matrix som en alternerende sum over dens "slanger";
- endelig betegner Leibnizs formel også summen af den skiftende række af inverser med ulige heltal.
Afledt af et produkt
Lad n være et positivt heltal . Produktet af to funktioner af en reel variabel f og g defineret og differentierbar op til rækkefølge n over et interval kan differentieres op til rækkefølge n . Leibniz's formel giver sit derivat af rækkefølge n givet af:
(fg)(ikke)=∑k=0ikke(ikkek) f(k) g(ikke-k){\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ f ^ {(k)} \ g ^ {(nk) }}
hvor heltalene er de binomiale koefficienter , og hvor vi er enige om, at det "nulde derivat" af f , betegnet med f (0) , er selve funktionen f .
(ikkek){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}
Denne formel er bevist ved induktion på heltal n . Beviset kan sammenlignes med Newtons binomeformel . Sidstnævnte kan desuden udledes af det.
En demonstration tilbydes i den detaljerede artiklen "Product regel ".
Alternativ serie
Den "aritmetiske kvadratur" for π, fundet af Leibniz i 1674, er et eksempel på en skiftende serie :
π4=11-13+15-17+19-⋯=∑ikke=0∞(-1)ikke2ikke+1.{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} { 2n + 1}}.}
Det svarer til Taylor-seriens udvidelse af arctan-funktionen , evalueret i punkt 1.
Det blev opdaget i Vesten i det 17. århundrede , men vises allerede i Madhava , en indisk matematiker fra provinsen Kerala , omkring 1400. Han bruger det til at beregne en tilnærmelse af π . Den mest almindelige teori er, at de indiske matematiske værker af denne periode vil blive kendt i Vesten i slutningen af det XIX th århundrede, under koloniseringen af Indien af Storbritannien .
Bestemmelse af en firkantet matrix
Den determinant af en kvadratisk matrix af orden n er antallet:
PÅ=(påjegj){\ displaystyle A = (a_ {ij})}
det(PÅ): =∑σ∈Sikkeε(σ)∏jeg=1ikkepåjeg,σ(jeg){\ displaystyle \ det (A): = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \ sigma (i) }}
hvor S n er gruppen af permutationer på {1, 2,…, n } og for en permutation σ af S n , betegner ε (σ) sin signatur , lig med 1, hvis permutationen er jævn og –1 ellers.
Noter og referencer
-
Brev fra Christian Huygens til Leibniz af 7. november 1674 ( læs online ) .
-
(La) Leibniz, “De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa”, Acta Eruditorum , februar 1682.
-
Leibniz, "Brev til M. de La Roque, direktør for Journal des sçavans ", 1678,
Leibnizens mathematische Schriften , bind. 5, s. 88-92 .
-
Marc Parmentier, fødslen af differentialregning , Vrin , 1989, s. 61-81 .
-
(i) L. Berggren, J. Borwein og P. Borwein , P, A Source Book , Springer , 1997 "Madhava, potensrækken til arctan og fod (~ 1400)," s. 45-50 .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">