Kommutativ ring

En kommutativ ring er en ring , hvor loven af multiplikation er kommutativ .

Undersøgelsen af kommutative ringe kaldes kommutativ algebra .

Definition

En kommutativ ring er en (enstrenget) ring , hvor lov af multiplikation er kommutativ .

Omfang Kommutativ ringe er særlig ringe , mange begreber almene ringteori bevarer alle deres relevans og anvendelighed i kommutativ ring teori: således de af ring morfier , idealer og kvotientringe , af sub-ringe , af nilpotente elementer . Det er simpelthen ubrugeligt at skelne mellem idealer til venstre og højre: idealerne er systematisk tosidede og tillader definition af kvotienter.

Eksempler

Sættet med relative heltal forsynet med de almindelige additions- og multiplikationslove er arketypen for kommutative ringe. Ringen bemærkes normalt med henvisning til det tyske ord "Zahlen" (tal). $\ mathbb {Z}$
De rationelle tal , de reelle tal og de komplekse tal danner kommutative ringe. De er alle kommutative felter , det vil sige kommutative ringe, hvor opdeling er mulig.
Hvis n er et strengt positivt heltal, er den indstillede Z / n Z af modulo n kongruensklasser en n- element kommutativ ring .
Hvis A er en kommutativ ring, udgør polynomierne med en ubestemt (eller mere generelt polynomierne med flere ubestemte ) med koefficienter i A en ny kommutativ ring, betegnet A [ X ] (henholdsvis A [ X 1 ,…, X n ]).
Det er det samme for den formelle serie med koefficienter i A , betegnet A [[ X ]] (henholdsvis A [[ X 1 ,…, X n ]].
De ringe Boolean er kommutativ ring af karakteristiske 2, nært beslægtede med boolsk algebra .
De kontinuerlige funktioner fra R til R udgør for den sædvanlige tilføjelse og multiplikation en kommutativ ring. Det er ikke integreret : hvis vi tager f for en ikke-nul kontinuerlig funktion med understøttelse inkluderet i R - og for g en ikke-nul kontinuerlig funktion med understøttelse inkluderet i R + , er produktet fg nul-funktionen, og vi har derfor produceret to skillevægge på nul i denne ring.

Historie

Integrerede ringe

Et ikke-nul-element a i en kommutativ ring kaldes en skillevæg på nul , når der er et ikke-nul-element b i ringen, således at ab = 0 . Et element a i en kommutativ ring kaldes en invertibel (eller en enhed ), når den har en symmetrisk for multiplikation, det vil sige når der er et element af b i ringen, således at ab = 1 Et inverterbart element er aldrig en skiller af nul.

En kommutativ ring, der ikke er reduceret til {0}, og som ikke har en skillerum på nul, kaldes en integreret ring .

Fraværet af divisorer på nul gør måske multiplikationen på en integreret ring tættere på intuitionen som følge af sammenslutningen af heltal. Det kan være nyttigt for nybegynderlæseren at kigge på artiklen " Integral Ring ", inden vi går videre til næste afsnit, hvor resten af denne artikel kun vedrører spørgsmål, der giver mening i en ring, der indeholder mulige skillevægge.

Som generelt kommutativ ringteori spiller manipulation af idealer en vigtig rolle i studiet af integrerede ringe; udvidelse til andre aritmetiske tekniske ledere lapsamlet på heltal, er det nødvendigt at definere de vigtigste ringe som dem, der hver ideal er en principal ideal og andre vigtige klasser af ringe integritet ( ringe faktoriel , ringe euklidisk ,. ..).

Vi kalder et kommuterende organ for en kommutativ ring, der ikke er reduceret til {0}, hvor alle elementerne, der ikke er nul, er inverterbare. Kommutative felter er derfor særligt enkle integrerede ringe: et kommutativt felt har kun to idealer, sig selv og {0}.

På samme måde som vi kan fordybe ringen Z af heltal i rationalernes felt Q eller ringen R [ X ] af reelle polynomer i feltet R ( X ) for rationelle fraktioner , er en hvilken som helst integreret ring nedsænket i et kommutativt felt forbundet med det. Denne operation er et simpelt specielt tilfælde af placeringen behandlet nedenfor i den mere generelle sammenhæng med ringe, der kan indeholde divisorer på nul.

Idéer i kommutativ algebra

Prime idealer

Lad A være en kommutativ ring. En ideel P af A kaldes et primærideal, når ringkvotienten A / P er integreret. Denne betingelse er ækvivalent med følgende betingelse: P er en streng del A for alle x , y af A , når produktet xy er i P , derefter x tilhører P eller det tilhører P .

Vi viser, at skæringspunktet mellem alle primidealer er lig med sæt af nilpotenter i A (og vi kalder det nilradiske i A ).

En ring siges at være reduceret, når den ikke har nogen nilpotenter (undtagen 0).

Maksimale idealer

Lad A være en kommutativ ring. Et M- ideal for A kaldes et maksimalt ideal, når A / M- ringkvotienten er et felt. Denne betingelse svarer til følgende betingelse: M er et maksimalt element i et sæt andre idealer end A , ordnet efter inkludering.

En Krull-sætning forsikrer, at ethvert passende ideal (dvs. forskelligt fra A ) er indeholdt i mindst et maksimalt ideal.

Beliggenhed

Lokalisering er en konstruktionsteknik, der generaliserer konstruktionen af kroppen af fraktioner af en integreret ring.

Hvis B er en delmængde af en kommutativ ring A , som ikke har en skillevæg på nul, og som er stabil til multiplikation, dvs. sådan at produktet af et hvilket som helst to element af B hører til B , så sætter formelle fraktioner ( a , b ) hvor a er ethvert element i A og b er ethvert element i B danner en ny kommutativ ring; derudover defineres subtraktion, multiplikation og lighed på dette nye sæt på samme måde som for almindelige fraktioner. Den nye ring er betegnet A B og kaldes placeringen af A til B .
Et eksempel, der illustrerer ovenstående, er at lokalisere ringen af heltal til delmængden af ulige heltal, der er stabil ved multiplikation. Feltet med rationelle tal er lokaliseringen af kommutativ ring af heltal til staldsættet ved multiplikation af ikke-nul heltal.

Kommutative ringe defineret af en egenskab af deres idealer

I henhold til egenskaberne ved idealerne for en ring A skelner vi mellem familier af bestemte ringe såsom:

Vigtigste ring: Integral enhedsstat kommutativ ring, hvoraf alle idealer er vigtigste.

Se detaljeret artikel : Hovedring En euklidisk ring er principiel En hovedring er faktisk

Noetherian ring: enheds kommutativ ring, hvis idealer genereres af et endeligt antal elementer

Se detaljeret artikel : Noetherian ring

Artinian ring: enhedskommutativ ring, hvis enhver faldende sekvens af idealer (til inklusion) er stationær.

Se detaljeret artikel : Artinian ring

Lokal ring: enhedskommutativ ring, hvor der kun er et maksimalt ideal.

sættet med rationelle tal, hvis nævner er ulige, er et eksempel på en lokal ring; sæt af formelle serier , A [[ X ]] på en kommuterende ring A er et andet eksempel.

Disse ringe er organiseret efter et hierarki, hvor nedenstående diagram giver en delvis idé. Det lodrette hierarki går fra den mest generelle ring til den mest specifikke ring, hver nedadgående pil indikerer en filiering. Bemærk, at ringen med de fleste egenskaber, der er analoge med Z, er den euklidiske ring . Kroppen, der er et specielt tilfælde af en euklidisk ring, er ikke vist i dette diagram.

Kommutativ pseudo-ring

Enheds kommutativ ring

Kommutativ Noetherian Ring

Integreret ring

Kommutativ Artinian Ring

Fuldt lukket ring

Integreret GCD-ring

Dedekind Ring

Faktorring

Ring Bézout
integreres

Hovedring

Euklidisk ring

Færdiggørelse

Hvis jeg er et ideal om en kommutativ ring A , beføjelser jeg danne et topologisk kvarter i 0 , som gør det muligt for en at blive betragtet som en topologisk ring . A kan udfyldes ved at holde denne topologi. For eksempel, hvis er et organ , ringen af formelle power serier i én variable koefficienter i , er afsluttet ringen af polynomier med koefficienter i henhold topologien produceret af beføjelser den ideelle genereret af X . $\ mathbb {K}$ ${\ mathbb {K}} [[X]]$ $\ mathbb {K}$ ${\ mathbb {K}} [X]$ $\ mathbb {K}$

Noter og referencer

Saunders Mac Lane og Garrett Birkhoff , Algebra [ detaljer af udgaver ], bind 1, s. 135 .
(i) Michael Atiyah og Ian G. Macdonald , Introduktion til kommutativ algebra , Reading (Mass.) Osv, Addison-Wesley ,1969( ISBN 978-0-201-00361-1 , note BNF n o FRBNF37362287 ) definere alle de begreber, der er citeret som eksempler på traktatens side 1 eller 2.
Atiyah og Macdonald 1969 , s. 2.
Serge Lang , Algebra [ detaljerede udgaver ], s. 99-100 i Dunod-udgaven.
Atiyah og Macdonald 1969 , s. 3-6.

Eksternt link

Antoine Chambert-Loir , " Commutative algebra " , University of Rennes I ,2005, kap. 2: "Ringe, idealer, algebraer"