Total sandsynlighedsformel

I sandsynlighedsteori er den samlede sandsynlighedsformel en sætning, der gør det muligt at beregne sandsynligheden for en begivenhed ved at nedbryde den i henhold til et udtømmende system af begivenheder.

Stater

Total sandsynlighedsformel - Vi giver os selv et sandsynlighedsrum Hvis er et udtømmende (endeligt eller tælleligt ) system af begivenheder , og hvis det så er tilfældet, for enhver begivenhed ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}).}$ ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ i I}}$ ${\ displaystyle i \ i I,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0,}$ ${\ displaystyle A,}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ sum _ {i \ i I} \ mathbb {P} (A | B_ {i}) \ mathbb {P} (B_ {i}) = \ sum _ { i \ i I} \ mathbb {P} (A \ cap B_ {i}).}

Bemærkninger:

Når der defineres udgør et problem: ville være den betingede sandsynlighed for at kende en begivenhed, der aldrig sker, nemlig Den sædvanlige definition af ville så føre til at dividere med 0 ... En konvention, der sjældent er skadelig, består, hvornår der skal tilskrives en vilkårlig værdi mellem 0 og 1: vi behøver aldrig at forudsige sandsynligheden for begivenheden ved at vide, da den aldrig sker, så tildeling af en vilkårlig værdi vil ikke forårsage nogen fejl. På den anden side er tildeling af en vilkårlig værdi mellem 0 og 1 irrelevant i den samlede sandsynlighedsformel , da vi derefter multiplicerer denne værdi med Sammenfattende med denne konvention er antagelsen overflødig for sandsynlighedsformelens samlede. ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ $PÅ$ ${\ displaystyle B_ {i}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ $PÅ$ ${\ displaystyle B_ {i},}$ $Bi}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {P} (B_ {i}).}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0}$
Hypotesen ifølge hvilken et udtømmende system kan svækkes : kan erstattes af Det er på den anden side vigtigt, at de er uensartede. ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ i I}}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\, i \ i I} B_ {i} = \ Omega}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\, i \ i I} B_ {i} \ supset A.}$ $Bi}$

Variant

Sætning - Overvej en sandsynlighed rum og begivenheder A . Hvis er en partition (endelig eller tællelig) af begivenhed B , ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ i I}}$

{\ mathbb {P}} (A | B) = \ sum _ {{i \ i I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i } | B).

Demonstration

{\ begin {align} {\ mathbb {P}} (A \ cap B) & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A \ cap B_ {i}) \\ & = \ sum _ {{i \ i I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i}) \\ & = \ sum _ {{ i \ i I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i} | B) {\ mathbb {P}} (B), \ end { justeret}}

fordi CQFD ${\ displaystyle B_ {i} \ cap B = B_ {i}.}$

Konsekvens - Hvis er en skillevæg (endelig eller tællelig) begivenhed B , og hvis ikke afhænger af i , så den fælles værdi af de betingede sandsynligheder er ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ i I}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B).}$

Demonstration

Benævn med x den fælles værdi af de betingede sandsynligheder derefter ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}$

{\ begin {align} {\ mathbb {P}} (A | B) & = \ sum _ {{i \ i I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb { P}} (B_ {i} | B) \\ & = x \ \ sum _ {{i \ i I}} {\ mathbb {P}} (B_ {i} | B) \\ & = x. \ slutning {justeret}}

CQFD

This logisk konsekvens kan mærker det muligt at reducere beregning af beregningen af nogle gange lettere, fordi hændelsen B i , er mindre end begivenhed B , giver mere præcis information, og letter således prognosen (prognose = beregning af den betingede sandsynlighed). Sagen opstår ofte, når man studerer to Markov-kæder, hvoraf den ene er et billede af den anden. Beviset for Markov-ejendommen for Galton-Watson-processer er blot et eksempel blandt mange. ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}),}$

Navnlig anvendes følgen ofte i det tilfælde, hvor B = Ω , og gør det derefter muligt at reducere beregningen af til beregningen af ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}$

Se også

Formel for sammensat sandsynlighed