Ikke-euklidisk geometri

I matematik kalder vi ikke-euklidisk geometri en geometrisk teori, der bruger alle aksiomer og postulater fra Euklid i elementerne , bortset fra postulatet af paralleller .

De forskellige ikke-euklidiske geometrier er fra et ønske om at bevise det femte postulat ( det postulat af Euklid), som syntes utilfredsstillende som for kompliceret, og måske overflødig.

I Euclids elementer ligner postulatet konklusionen af en sætning , men som ikke ville indebære et bevis  :

Hvis en linje, der falder på to lige linjer, gør de indvendige vinkler på samme side mindre end to rettigheder , vil disse rettigheder, udvidet på ubestemt tid , møde den side, hvor vinklerne er mindre end to rettigheder.

som kan forstås som:

Gennem et punkt uden for en linje passerer det altid en parallel til denne linje og kun en.

I flere århundreder er euklidisk geometri blevet brugt uden at sætte spørgsmålstegn ved dens gyldighed. Det er endda længe blevet betragtet som arketypen af logisk-deduktiv ræsonnement . Det havde fordelen ved at definere de intuitive egenskaber ved geometriske objekter i en streng matematisk konstruktion.

Intuitiv tilgang til ikke-euklidisk geometri

I 1902 foreslog Henri Poincaré en simpel model, hvor Euclids femte postulat ikke var gyldig. Linjen defineres her ved udvidelse som kurven for den korteste sti, der forbinder to punkter i det betragtede rum.

”Lad os antage en verden indesluttet i en stor sfære og underlagt følgende love: Temperaturen er ikke ensartet der; det er maksimalt i midten, og det aftager, når man bevæger sig væk fra det, for at blive reduceret til absolut nul, når man når den sfære, hvor denne verden er lukket. [...] Et objekt i bevægelse bliver derefter mindre og mindre, når man nærmer sig grænsesfæren. Lad os først bemærke, at hvis denne verden er begrænset set fra vores sædvanlige geometri, vil den fremstå uendelig for dens indbyggere. Når disse faktisk vil nærme sig grænsesfæren, køler de ned og bliver mindre og mindre. De skridt, de tager, bliver derfor mindre og mindre, så de aldrig kan nå grænsesfæren. "Kapitel 4" Geometriens rum "

-  Henri Poincaré , videnskab og hypotese

Étienne Ghys kommenterer denne tekst som følger:

”De væsener, der bebor denne verden, kan ikke vide, at de bliver mindre, for hvis de måler sig selv med et målebånd, bliver målebåndet også mindre. Vi ved, at de bliver mindre, men de har meget normale og meget konsekvente liv. Hvis de ønsker at gå fra et punkt til et andet på den korteste rute, tror vi, at de vil have en tendens til at komme tættere på centrum, fordi deres skridt er ret større mod centrum.

Så kan vi vise, at den korteste vej fra et punkt til et andet i denne imaginære geometri er en bue af en cirkel vinkelret på grænsecirklen. Deres rettigheder er vores kredse. Og du ser, at i deres geometri er Euclids aksiom ikke opfyldt. Den røde linje er parallel med den grønne linje, men den blå linje er også parallel (to linjer, der ikke krydser hinanden, er faktisk parallelle).

Der er en uendelighed af paralleller, der passerer gennem et punkt. Og disse mennesker er rimelige, de ved ikke, at de bliver mindre. Men de er lige så rimelige som vi, der sandsynligvis ignorerer mange andre ting.

Moralen i denne lille Poincaré-historie er, at vi meget vel kan forestille os mange yderst rimelige verdener, hver med sin egen geometri, hver med sin egen logik, og som hver kan give os en vision om vores konkrete verden […].

Dagens matematiker til at løse et problem, at studere et spørgsmål, vil bruge en geometri, vil tage sin værktøjskasse og vælge den mest egnede geometri til at forstå det undersøgte problem.

Her er Poincarés sætning: En geometri kan ikke være mere sand end en anden, den kan simpelthen være mere praktisk.  "

- Étienne Ghys

Historie af ikke-euklidiske geometrier

De n- dimensionelle geometrier og de ikke-euklidiske geometrier er to separate grene af geometrien, som kan kombineres, men ikke nødvendigvis. Der er opstået forvirring i populærlitteraturen om disse to geometrier. Fordi euklidisk geometri var to eller tredimensionel, blev det forkert konkluderet, at ikke-euklidiske geometrier nødvendigvis havde højere dimensioner.

antikken

Forhistorien for ikke-euklidisk geometri er den lange række forskning og forsøger at afklare Euclids femte postulat (postulatet af paralleller). Dette postulat - især fordi det appellerer til begrebet uendelighed - har altid virket lidt "adskilt" og ikke oplagt for matematikere, der har søgt enten at erstatte det med et enklere og mere direkte postulat eller at demonstrere det for fra Euclids andre postulater. Således har arabiske og persiske matematikere inklusive Thābit ibn Qurra , Alhazen og især Omar Khayyam undersøgt sammenhængen mellem postulatet af paralleller og summen af ​​vinkler af firkantede og trekanter. Khayyam og tilbud fra XI th  århundrede et alternativ til Euklids femte postulat, og demonstration forsøg på dette postulat ved modsigelse .

XVII th  århundrede

I det XVII th  århundrede, John Wallis og især Giovanni Girolamo Saccheri var inspireret af arbejdet i disse matematikere og forsøgte at bevise den parallelle postulat. Saccheri viet hele sit liv til at forsøge at demonstrere postulatet af paralleller gennem absurditet uden at lykkes. Men ved at postulere "den skarpe vinkelhypotese", som postulerer, at summen af ​​vinklerne på et firkant er mindre end fire rette vinkler , fører det ikke kun til nogen flagrant matematisk modsigelse, men det opdager også alt. Et sæt nyt , sammenhængende og rige sætninger. Han er ved at opdage en ikke-euklidisk geometri (for eksempel hyperbolsk geometri, hvor rummet kan indrømme en uendelighed af paralleller til en given linje og passere gennem et punkt uden for denne linje), men han vil aldrig acceptere disse nye sætninger, som han anser "frastødende".

Johann Heinrich Lambert genoptager Saccheris arbejde i 1766 og tager den skarpe vinkelhypotese op, men konkluderer ikke, at der er en modsigelse. Han indser, i det mindste i de sidste år af sit liv, at det skal være muligt at bygge sammenhængende geometrier, enten ud fra hypotesen om den akutte vinkel (hyperbolsk geometri) eller den stumpe vinkel. (Elliptisk geometri).

Lambert opnår især formlen , hvor C er en konstant, hvilket giver arealet A i en trekant, hvis tre vinkler er α , β og γ i en geometri baseret på den spidse vinkel (i dag kaldet hyperbolsk geometri ).

XIX th  århundrede

Gauss formulerede allerede i 1813 muligheden for, at der er andre geometrier end Euklides. Imidlertid turde han aldrig offentliggøre resultaterne af sine refleksioner i denne retning "af frygt for boeoternes skrig", som han selv skrev.

Vi adskiller geometrier med negativ krumning, som Lobachevsky (1829) og Bolyai (1832) (summen af ​​vinklerne i en trekant mindre end 180 °, uendeligt antal mulige paralleller til en linje med et punkt, for eksempel hyperbolsk geometri) , positive krumningsgeometrier som Riemann (1867) (summen af ​​vinklerne på en trekant større end 180 °, parallelt med polerne, for eksempel elliptisk geometri).

Geometrien, der almindeligvis kaldes "Riemann-geometri", er et tredimensionelt sfærisk rum, et endeligt og alligevel grænseløst rum med regelmæssig positiv krumning, et alternativ til det euklidiske postulat af paralleller. Riemann udtænkte også en udvidet teori om ikke-euklidiske n- dimensionelle geometrier (1854-konferencen).

Idéen om "ikke-euklidisk geometri" indebærer normalt ideen om et buet rum, men geometrien af ​​en rumkurve er en repræsentation af geometrien for ikke-euklidisk, siger Duncan Sommerville  (in) i Elementer af ikke-euklidisk geometri ( London, 1914). Der er tredimensionelle ikke-euklidiske rum.

Forskellige typer ikke-euklidisk geometri

Hyperbolsk geometri

Lobachevsky , Klein og Poincaré skabte geometrimodeller, hvor vi kan tegne en uendelighed af paralleller til en given linje og passere gennem det samme punkt.

Det er bemærkelsesværdigt, at kun Euclids femte postulat blev løftet; ikke-euklidiske geometrier respekterer også alle andre euklidiske definitioner. Især defineres en linje altid som linjen med den korteste sti, der forbinder to punkter på en overflade. Der er flere modeller af todimensionel hyperbolsk geometri: Poincaré-disken , Poincaré -halvplanet osv.

Elliptisk geometri

Riemann introducerede en anden model for ikke-euklidisk geometri, sfærisk geometri (undertiden kaldet sfærisk elliptisk geometri ). I dette tilfælde, ved et punkt uden for en linje, kan vi ikke tegne nogen parallel (med andre ord, alle linjer, der passerer gennem et punkt uden for en given linje, er sekante for denne linje, eller endda alle linjer i rummet skærer hinanden) . Modellen er meget enkel:

Denne geometri giver en positiv krumning af rummet (summen af ​​vinklerne i en trekant er større end to rettigheder, eller summen af ​​to på hinanden følgende vinkler af en firkant er større end to rettigheder, eller der findes en trekant, hvor alle vinkler er rigtige ).

Noter og referencer

Bemærkninger

  1. Saccheris konklusion er forblevet berømt: ”Den skarpe vinkelhypotese er absolut falsk, fordi den er modbydelig med den lige linjes natur. "
  2. Summen af ​​vinklerne på en firkant er større end fire rette vinkler .
  3. I dag kaldes C den "Gaussiske krumning" af det hyperbolske plan.

Referencer

  1. [video] Tilgængelig på Dailymotion . Étienne Ghys, matematiker, forskningsdirektør ved CNRS, sætter spørgsmålstegn ved grundlaget for matematik: aksiomer.
  2. Se artiklen Højdimensionel euklidisk geometri ( euklidisk geometri i højere dimensioner ) (in) , webstedet matematik.brown.edu.
  3. A. Dahan-Dalmedico og J. Peiffer , A History of Mathematics: Veje og labyrinter ,1986[ detaljer om udgaver ], kap. 4, figurer, mellemrum og geometrier, afsnit 11: ikke-euklidiske geometrier s.  152-153 .
  4. A. Dahan-Dalmedico og J. Peiffer , A History of Mathematics: Veje og labyrinter ,1986[ detaljer om udgaver ], kap. 4, figurer, mellemrum og geometrier, afsnit 11: ikke-euklidiske geometrier s.  154 .
  5. "  da ich das under Geschrei Böotier scheue  " Gauss til Bessel skrivelse af 27. juni 1829 citeret i (de) H. Reichardt , Gauß und die nicht der Anfänge-euklidischen Geometry , Springer-Verlag,2013, 250  s. ( ISBN  978-3-7091-9511-6 , læs online ) , s.  40.

Se også

Bibliografi

Historiske aspekter Matematikbøger
  • Jean-Pierre Bourguignon , Buede rum [ udgaver af detaljer ]
  • (en) Norbert A'Campo og Athanase Papadopoulos, Noter om hyperbolsk geometri , i: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1--182, IRMA Forelæsninger i matematik og teoretisk fysik, bind. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 sider, 2012 ( ISBN  978-3-03719-105-7 ) , DOI : 10.4171 / 105
  • Marcel Berger og Bernard Gostiaux , Differentialgeometri: sorter, kurver og overflader [ detaljer i udgaver ]
  • (en) Marcel Berger , En panoramaudsigt over Riemannian geometri ,2003[ detalje af udgaven ]Som titlen antyder, inviterer det store franske geometer os her til en lang (824 sider) panoramavandring i en verden af ​​Riemannian-geometri; de forskellige resultater gives for det meste uden detaljerede demonstrationer, men med passende referencer til læseren, der gerne vil "få snavsede hænderne"; det sidste kapitel giver de tekniske baser i feltet.
  • Jean-Marc Daudonnet, Bernard Fischer, krumning af overflader. Introduktion til ikke-euklidiske geometrier , JIPTO 2009 ( ISBN  2-35175-028-4 )
  • Boris Doubrovine  (de) , Anatoli Fomenko og Sergueï Novikov , Moderne geometri - Metoder og anvendelser ,1984[ detaljer om udgaver ] (Første del: geometri af overflader, transformationsgrupper og felter).En meget lærerig introduktion til geometri med anvendelser til fysik, skrevet af russiske specialister. Denne tilgang er temmelig intuitiv, og denne bog er tilgængelig fra universitetets første cyklus for en "god" motiveret studerende.
  • (da) Birger Iversen, Hyperbolic Geometry , London Mathematical Society Student Texts 25, Cambridge University Press, 1992 ( ISBN  0-521-43528-5 )
  • (en) Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, oversætter og redaktør: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, bind. 4, European Mathematical Society, 2010
  • (da) Michael Spivak , (En omfattende introduktion til) Differential Geometry [ detalje af udgaver ]Referenceaftale i fem bind.
  • (en) John Stillwell , Geometry of Surfaces , 1992 , koll.  "Universitext",1995, 236  s. ( ISBN  978-0-387-97743-0 , læs online )
Bøger til teoretiske fysikere
  • (en) Yvonne Choquet-Bruhat et Cécile DeWitt-Morette , Analyse, Manifolds and Physics - Del I: Basics , Nordholland, 1989 ( ISBN  978-0-44486017-0 )
  • (i) Theodore Frankel, geometri Fysik - en introduktion , Cambridge University Press, 2004, 2 th ed. revideret og illustreret ( ISBN  978-0-52153927-2 )
  • (in) Mikio Nakahara, Geometry, Topology and Physics , Institute of Physics Publishing, 2003 2 e ed. illustreret ( ISBN  978-0-75030606-5 )
  • (en) Charles Nash og Siddhartha Sen, Topologi og geometri for fysikere , Academic Press, 1983 ( ISBN  978-0-12514080-5 )
Filosofibøger
  • Gaston Bachelard , The New Scientific Spirit , 1934.Ikke-teknisk introduktion til emnet.
  • Imre Toth , frihed og sandhed. Matematisk tænkning og filosofisk spekulation , Paris, Éditions de l'Éclat, 2009, 144 s.En kritik af Frégés modvilje mod GNE.
  • Imre Toth, Palimpsest. Propos avant un-trekant , Paris, Presses universitaire de France, 2000, 528 s., ( ISBN  9782130500032 ) .
Legende aspekter

Jean-Pierre Petit , Le Géométricon , tegneserie fra Les Aventures d ' Anselme Lanturlu-samlingen , red. Belin, ( ISBN  2-7011-0372-X )

Relaterede artikler

eksterne links