Rogers-Ramanujan identiteter

I kombinatorik er Rogers-Ramanujan-identiteterne følgende to hypergeometriske q-serie- ligheder (en) , som kan fortolkes som lighed mellem antallet af partitioner af heltal :

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {\ color {Red} n ^ {2}}} {(1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5k \ color {Red} +1}) (1-q ^ {5k \ color {Red} +4})}},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {\ color {Red} n (n + 1)}} {(1-q) (1-q ^ {2} ) \ cdots (1-q ^ {n})}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-q ^ {5k \ color {Red} +2} ) (1-q ^ {5k \ color {Red} +3})}}.}

Historie

De blev opdaget og bevist oprindeligt af Leonard James Rogers (i) i 1894, derefter fundet (men uden bevis) af Srinivasa Ramanujan kort før 1913. Ramanujan opdagede Rogers 'sektion i 1917; de offentliggjorde derefter i fællesskab et nyt bevis. Issai Schur opdagede også disse identiteter og demonstrerede dem (uafhængigt) i 1917.

Definition

Ved hjælp af Pochhammer q-symbolet er Rogers-Ramanujan identiteter:

G (q) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {{n ^ {2}}}} {(q; q) _ {n}}} = { \ frac {1} {(q; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} = 1 + q + q ^ {2} + q ^ {3} + 2q ^ {4} + 2q ^ {5} + 3q ^ {6} + \ cdots \,

(fortsat A003114 fra OEIS )

H (q) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {{n ^ {2} + n}}} {(q; q) _ {n}}} = {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty}}} = 1 + q ^ {2} + q ^ {3} + q ^ {4} + q ^ {5} + 2q ^ {6} + \ cdots \,

(fortsættelse A003106 af OEIS ).

Pochhammer symboler

Pochhammer-symbolerne, der griber ind, er:

{\ displaystyle (q; q) _ {n} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (1-q ^ {k}) = (1-q) (1-q ^ {2}) \ cdots (1-q ^ {n})}

{\ displaystyle (q; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 1})}

{\ displaystyle (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 4})}

{\ displaystyle (q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 2})}

{\ displaystyle (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {5k + 3})}

Kombinatoriske fortolkninger

For den første identitet ( $G$ ) kan højre side fortolkes som antallet af skillevægge af n, hvis dele adskiller sig med mindst 2, og venstre side er antallet af skillevægge af n i dele, der er kongruente med ± 1 modulo 5 (1 , 4, 6, 9 osv. ).

For det andet ( $H$ ):

${\ displaystyle {\ frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(q; q) _ {n}}}}$ er serien, der skaber skillevægge i n dele, således at to tilstødende dele adskiller sig med mindst 2 og sådan, at den mindste del er mindst 2.
${\ displaystyle {\ frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {\ infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {\ infty}}}}$ er seriegenererende partitioner således, at hver del er kongruent til 2 eller 3 modulo 5.

Antallet af skillevægge af n, således at to tilstødende dele adskiller sig med mindst 2, og således at den mindste del er mindst 2 er lig med antallet af skillevægge af n, således at hver del er kongruent til 2 eller 3 modulo 5.

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Rogers - Ramanujan identities " ( se forfatterliste ) .

GH Hardy og EM Wright ( oversat fra engelsk af F. Sauvageot), Introduktion til talteorien [" En introduktion til talteorien "], Vuibert -Springer,2007, s. 375, th. 362 og 363.
(i) Leonard James Rogers , " Third Memoir on the expansion of some Infinite Products " , Proc. London matematik. Soc. , Vol. 26, nr . 1,1894, s. 15-32 ( DOI 10.1112 / plms / s1-26.1.15 ).
Han meddelte dem til Percy Alexander MacMahon, der inkluderede dem i sin bog Combinatory Analysis , Cambridge University Press, Vol. 2, 1916, uden demonstration.
(i) Leonard James Rogers og Srinivasa Ramanujan , " Bevis for nogle identiteter i kombinatorisk analyse " , Cambr. Phil. Soc. Proc. , Vol. 19, 1919, s. 211-216.
(De) Issai Schur , " Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche " , Sitzungsberichte der Berliner Akademie ,1917, s. 302-321.
Hardy og Wright 2007 , s. 376, th. 364.
" Identitet af Rogers-Ramanujan " , på Publimath .

Se også

Bibliografi

(en) Cilanne Boulet og Igor Pak (en) , " Et kombinatorisk bevis for Rogers-Ramanujan og Schur-identiteterne " , Journal of Combinatorial Theory , a, bind. 113, nr . 6,2006, s. 1019-1030 ( DOI 10.1016 / j.jcta.2005.09.007 , arXiv matematik / 0411072 , læs online )
(en) David Bressoud , " Et let bevis på Rogers-Ramanujan-identiteterne " , J. Number Theory , bind. 16, nr . 21983, s. 235-241 ( DOI 10.1016 / 0022-314X (83) 90043-4 )

Relaterede artikler

Eksternt link

(da) Eric W. Weisstein , “ Rogers-Ramanujan Identities ” , på MathWorld