Direkte billede

Det direkte billede af en delmængde A af X ved et kort f : X → Y er delmængden af Y dannet af elementerne, der ved f har mindst en fortilfælde, der tilhører A :

{\ displaystyle f (A) = \ {f (x) \ mid x \ i A \} = \ {y \ i Y \ mid \ findes a \ i A, y = f (a) \}.}

Eksempler

Især definerer vi billedet af en applikation f defineret på X : ${\ displaystyle \ mathrm {Im} (f) = f (X).}$
Vi skal være forsigtige med ikke at forveksle det direkte billede med f af en del A af X , med billedet af f af et element x af X eller med billedet af kortet f .
Overvej kortet f fra {1, 2, 3} til { a , b , c , d } defineret af f (1) = a , f (2) = c og f (3) = d . Det direkte billede af {2, 3} med f er f ({2, 3}) = { c , d } mens billedet af f er { a , c , d }.

Til alle dele og til , $A_1$ $A_ {2}$ $x$ ${\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ cup A_ {2} \ right) = f (A_ {1}) \ cup f (A_ {2}).}$ Mere generelt for enhver familie af dele af , ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $x$ ${\ displaystyle f \ left (\ bigcup _ {i \ in I} A_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i \ in I} f (A_ {i}).}$
Til alle dele og til , $A_1$ $A_ {2}$ $x$ ${\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ cap A_ {2} \ right) \ subset f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})}$ og denne inkludering kan være streng, medmindre det er injektionsdygtigt . Vi kan endda bevise, at er injektiv hvis og kun hvis alle dele og af , vi har . $f$
$f$ $A_1$ $A_ {2}$ $x$ ${\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ cap A_ {2} \ right) = f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})}$

Mere generelt for enhver familie, der ikke er tom for dele af , ${\ displaystyle \ left (A_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $x$

{\ displaystyle f \ left (\ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} \ right) \ subset \ bigcap _ {i \ in I} f (A_ {i})}

Enhver del B af Y indeholder det direkte billede af dets gensidige billede f −1 ( B ); mere præcist : ${\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f).}$ Især hvis er overvejende så . $f$ $f (f ^ {{- 1}} (B)) = B$

Vi kan endda bevise, at det er overvejende, hvis og kun hvis vi har nogen del af det .

f

B

Y

f (f ^ {{- 1}} (B)) = B

(En demonstration gives i artiklen Surjection .)

Enhver del A af X er indeholdt i det gensidige billede af dets direkte billede: $En \ delmængde f ^ {{- 1}} (f (A))$ og denne inkludering kan være streng, medmindre det er injektionsdygtigt. Vi kan endda bevise, at det er injektionsdygtigt, hvis og kun hvis vi har det for alle dele af . $f$ $f$ $PÅ$ $x$ ${\ displaystyle A = f ^ {- 1} (f (A))}$

For at undgå forvirring er Saunders Mac Lane og Garrett Birkhoff , Algebra [ detaljerede udgaver ], flyvning. 1, s. 8 , tal om en sæt kortlægning , som de betegner med f * .
For en demonstration, se for eksempel svarnøglen til den tilsvarende øvelse på Wikiversity .