Gensidigt billede
I matematik , den gensidige billedet - eller preimage - af en del B af et sæt Y af et kort f : X → Y er den delmængde af X består af de elementer, hvis billedet ved f tilhører B : . Det er derfor kendetegnet ved:
f-1(B)={x∈x∣f(x)∈B}{\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ {x \ i X \ mid f (x) \ i B \}}
x∈f-1(B)⇔f(x)∈B{\ displaystyle x \ in f ^ {- 1} (B) \ Leftrightarrow f (x) \ in B}
.
Eksempler
- Det omvendte billede af en singleton med en funktion f er sættet af fortilfælde af y ved f .f-1({y}){\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \})}
{y}{\ displaystyle \ {y \}}
- Overvej kortet f : {1, 2, 3} → { a , b , c , d } defineret af f (1) = a , f (2) = c , f (3) = d . Det omvendte billede af { a , b } ved f er f −1 ({ a , b }) = {1}.
Programmet "gensidigt billede"
Med denne definition, f -1 er "gensidig billede (ved f )" kort, hvis definition sæt er sæt af dele af Y og hvis ende sæt er det sæt af dele af X .
Forsigtig : Når f er en bijection , ikke forveksle denne ansøgning til delene med den inverse bijection af f , også betegnet f -1 af Y i X . Det gensidige billede af f identificeres med det direkte billede af denne gensidige sammenhæng f -1 . For at undgå enhver forvirring taler Birkhoff og Mac Lane om et "sæt kort", som de betegner med f * i stedet for f -1 .
Elementære egenskaber
- For alle parter og fra :
B1{\ displaystyle B_ {1}}
B2{\ displaystyle B_ {2}}
Y{\ displaystyle Y}
f-1(B1∪B2)=f-1(B1)∪f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ cup B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cup f ^ {- 1} (B_ {2 })}
;
f-1(B1∩B2)=f-1(B1)∩f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ cap B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ cap f ^ {- 1} (B_ {2 })}
;
f-1(B1∖B2)=f-1(B1)∖f-1(B2){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (B_ {1} \ setminus B_ {2} \ right) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ setminus f ^ {- 1} (B_ {2 })}
.
- For enhver del af , .
B{\ displaystyle B}
Y{\ displaystyle Y}f(f-1(B))=B∩jegm(f){\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f)}
- Især hvis er overvejende så .
f{\ displaystyle f}
f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
Vi kan endda bevise, at det er overvejende, hvis og kun hvis vi har nogen del af det .f{\ displaystyle f}B{\ displaystyle B}Y{\ displaystyle Y}f(f-1(B))=B{\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B}
- For enhver del af , .
PÅ{\ displaystyle A}
x{\ displaystyle X}
PÅ⊂f-1(f(PÅ)){\ displaystyle A \ subset f ^ {- 1} (f (A))}
Inkludering i den anden retning er generelt falsk, hvis den ikke er injektionsdygtig .f{\ displaystyle f}
Vi kan endda bevise, at det er injektionsdygtigt, hvis og kun hvis vi har nogen del af det .f{\ displaystyle f}PÅ{\ displaystyle A}x{\ displaystyle X}f-1(f(PÅ))=PÅ{\ displaystyle f ^ {- 1} (f (A)) = A}
- For enhver ikke-tom familie af dele af :
(Bjeg)jeg∈jeg{\ displaystyle \ left (B_ {i} \ right) _ {i \ in I}}
Y{\ displaystyle Y}
f-1(⋂jeg∈jegBjeg)=⋂jeg∈jegf-1(Bjeg){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcap _ {i \ in I} B_ {i} \ right) = \ bigcap _ {i \ in I} f ^ {- 1} (B_ {i}) }
;
f-1(⋃jeg∈jegBjeg)=⋃jeg∈jegf-1(Bjeg){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcup _ {i \ in I} B_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i \ in I} f ^ {- 1} (B_ {i}) }
.
- Behandlingen af en ansøgning af mere , så det omvendte billede af en del af den sammensatte er:
g:Y→Z{\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}
VS{\ displaystyle C}
Z{\ displaystyle Z}
g∘f{\ displaystyle g \ circ f}
(g∘f)-1(VS)=f-1(g-1(VS)).{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} \ left (C \ right) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C)).}
Noter og referencer
-
Saunders Mac Lane og Garrett Birkhoff , Algebra [ detaljer af udgaver ], flyvning. 1, s. 8 .
-
For en demonstration, se for eksempel svaret på den tilsvarende øvelse på Wikiversity .
Relaterede artikler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">