Estimationslemma

I matematik giver estimeringslemmaet (også kaldet standardestimationslemmaet ) en øvre grænse (af modulet) af en kompleks krumlinjær integral . Dette lemma bruges i vid udstrækning i kompleks analyse for at vise, at integralet langs en del af en kontur har en tendens til nul, når det passerer til en bestemt grænse. Vi kan således beregne nøjagtigt bestemte integraler ved hjælp af restsætningen .

Stater

Hvis $f$ er en funktion af en kompleks variabel og værdikompleks , fortsætter på stien, der kan rettes $γ$ , har vi:

{\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z \ right | \ leq \ mathrm {L} (\ gamma) \ max _ {z \ in \ mathrm {Im} \ , \ gamma} | f (z) |}

hvor $L (γ)$ er længden af den korrigerbare sti . Bemærk, at den øvre grænse eksisterer og nås (det er derfor et maksimum), fordi billedet af en korrigerbar sti er kompakt og $f$ er kontinuerligt. Vær her forsigtig med ikke at forveksle $Im γ,$ som her betegner billedet af stien $γ$ , det vil sige en delmængde af , med den imaginære del af $γ$ . $\ mathbb {C}$

Vi kan intuitivt retfærdiggøre lemmaet som følger: ved at opdele stien $γ$ i $n -1$ små på hinanden følgende slutbuer $z 1 , ..., z n$ , nærmer vi os den krumlinjære integral med en Riemann-sum:

{\ displaystyle I = \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z \ approx \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} f (c_ {k}) (z_ {k + 1} -z_ {k})}

hvor $c k$ er et vilkårligt punkt i buen, der forbinder $z k$ til $z k +1$ . Modulet for hver periode af summen øges med $M | z k +1 - z k |$ , hvor $M$ er det maksimale antal $| f |$ på $γ$ og $| z k +1 - z k |$ er længden på akkorden, der forbinder $z k$ til $z k +1$ . Når summen af længden af disse strenge nærmer sig længden af stien $γ$ , kan vi forvente stigningen $| Jeg | \leq M L (γ)$ .

Demonstration

Enten en stykkevis klassesti har vi: ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ til \ mathbb {C}, t \ mapsto \ gamma (t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}$

{\ displaystyle | I | = \ left | \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z \ right | = \ left | \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t )) \ gamma '(t) \ mathrm {d} t \ right |}

som kan øges som følger:

{\ displaystyle | I | \ leq \ int _ {a} ^ {b} \ left | f (\ gamma (t)) \ right | \ left | \ gamma '(t) \ right | \ mathrm {d} t }

Ved at øge modulet for $f$ på stien og ved definition af længden af en bue har vi:

{\ displaystyle | I | \ leq \ max _ {t \ in [a, b]} | f (\ gamma (t)) | \ int _ {a} ^ {b} \ left | \ gamma '(t) \ right | \ mathrm {d} t {\ text {et}} \ mathrm {L} (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} \ left | \ gamma '(t) \ right | \ mathrm {d} t}

dermed endelig:

{\ displaystyle | I | \ leq \ mathrm {L} (\ gamma) \ max _ {z \ in \ mathrm {Im} \, \ gamma} | f (z) |}

Eksempel på anvendelse

Vi prøver at vise det

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}.}

Til dette betragter vi en blonder, der består af to dele: den første er halvcirkel med centrum 0 og radius $a > 1$ , indeholdt i det øverste plan, krydset i den direkte retning, som vi betegner med $γ a$ (vist i figur 2 modsat ) og det andet er segmentet $[- a , a ]$ . Lad os betegne med $f$ integranden af integralen, som vi søger at beregne, det vil sige

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}}.}

Det er en meromorf funktion på hvilke (dobbelt) poler er placeret på $z$ $= \pm i$ . Kun stangen i $z$ $= i$ er inde i blonderne, og resten på dette tidspunkt er: $\ mathbb {C}$

{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, + i) = \ lim _ {z \ to i} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ left ({\ frac { (z- \ mathrm {i}) ^ {2}} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1} {4 \ mathrm {i}}}}

hvor afledningen af rækkefølge 1 kommer fra det faktum, at polen er dobbelt.

I henhold til restsætningen uanset a > 1:

{\ displaystyle (*) \ qquad \ int _ {- a} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} x} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}} + \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ mathrm {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} = 2 \ pi \ mathrm {i} \, \ mathrm {Res } (f, + \ mathrm {i}) = {\ frac {\ pi} {2}}.}

Forsøger derefter at passere til grænsen, når den skal finde i henhold $til$ en øvre grænse for: ${\ displaystyle a \ to + \ infty}$

{\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ mathrm {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ right |}

som vi får takket være estimeringslemmet. Stiens længde er halvdelen af omkredsen af en cirkel med radius $a$ ; Så vi har:

{\ displaystyle \ mathrm {L} (\ gamma _ {a}) = \ pi a}

Vi ser derefter i en øvre grænse $M en$ for modulus integranden på stien. Ved trekantet ulighed har vi:

{\ displaystyle | z | ^ {2} = | z ^ {2} + 1-1 | \ leq | z ^ {2} +1 | +1}

Derfor på stien $γ a$ ,

{\ displaystyle | z ^ {2} +1 | \ geq | z | ^ {2} -1 = a ^ {2} -1> 0}

Så : ${\ displaystyle \ forall z \ in \ gamma _ {a}}$

{\ displaystyle \ left | {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ right | \ leq {\ frac {1} {(a ^ {2} -1) ^ {2}}} = M_ {a}}

Ved at anvende lemmaet har vi derfor:

{\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ mathrm {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ right | \ leq { \ frac {\ pi a} {(a ^ {2} -1) ^ {2}}}}

Den følger det

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ mathrm {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2} }} = 0.}

Ved at føre til grænsen i , vi udlede relationen annonceret. ${\ displaystyle a \ to + \ infty}$ $(*)$

Se også

Jordans lemma

Bemærkninger

ved hjælp af trekantet ulighed , dvs. kun for ægte eller kompleks $a$ $k$ . ${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} |}$

Referencer

(i) Serge Lang , Complex Analysis , Springer, 1999, 4 th ed. ( ISBN 0-387-98592-1 )

Michèle Audin , kompleks analyse , forelæsningsnotater fra universitetet i Strasbourg