Rest (kompleks analyse)

I kompleks analyse er remanensen et komplekst tal, der beskriver opførelsen af ​​den krumlinjære integral af en holomorf funktion omkring en singularitet . Resterne beregnes ret let og tillader, når de er kendt, beregningen af ​​mere komplicerede krumlinjære integraler takket være restsætningen .

Udtrykket rest kommer fra Cauchy i hans matematiske øvelser offentliggjort i 1826.

Definition og egenskaber

Lad være et åbent sæt af , et sæt i D af isolerede punkter og en holomorf funktion . For hvert punkt findes der et kvarter med en relativt kompakt betegnet i D , sådan at det er holomorf. Funktionen f har i dette tilfælde en Laurent-udvidelse på U  : D⊆VS{\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {C}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}Df{\ displaystyle D_ {f}}f:D∖Df→VS{\ displaystyle f: D \ smallsetminus D_ {f} \ to \ mathbb {C}}på∈Df{\ displaystyle a \ i D_ {f}}U=Ur(på)∖{på}⊂D{\ displaystyle U = U_ {r} (a) \ smallsetminus \ {a \} \ subset D} f|U{\ displaystyle f | _ {U}}

f|U(z)=∑ikke=-∞∞påikke(z-på)ikke{\ displaystyle f {\ big |} _ {U} (z) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} (za) ^ {n}}.

Vi definerer derefter resten af f i a ved:

Respå⁡f≑på-1=12πjeg∮∂Uf{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} f \ doteqdot a _ {- 1} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anint _ {\ partial U} f}

Resten af ​​en holomorf funktion f ved et entalpunkt a (pol eller essentielt entalpunkt) er derfor en -1 , det vil sige koefficienten for i Laurent-udvidelsen af funktionen i nærheden af a . 1/(z-på){\ displaystyle 1 / (za)}

Resten er -lineær, det vil sige, at for vi har: . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}λ,μ∈VS{\ displaystyle \ lambda, \ mu \ in \ mathbb {C}}Respå(λf+μg)=λRespåf+μRespåg{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {a} (\ lambda f + \ mu g) = \ lambda \ mathrm {Res} _ {a} f + \ mu \ mathrm {Res} _ {a} g}

Beregningsmetoder

Resterne beregnes traditionelt på to måder:

• enten fra udviklingen af ​​Laurent i nærheden af en  ;
• eller anvendelse af følgende generelle formel, hvis f besidder har en pæl orden n  :

Respå⁡f=1(ikke-1)!limz→på∂ikke-1∂zikke-1((z-på)ikkef(z)){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} f = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ lim \ limits _ {z \ rightarrow a} {\ frac {\ partial ^ {n- 1}} {\ partial z ^ {n-1}}} ((za) ^ {n} f (z))}

For to funktioner f og g med værdier i har vi også følgende relationer: VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

• Hvis f a har en pol af orden 1  :;Respå⁡f=limz→på(z-på)f(z){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} f = \ lim \ limits _ {z \ rightarrow a} (za) f (z)}
• Hvis f har har en pol af orden 1 og hvis g er holomorf i en  :  ;Respågf=g(på)Respåf{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {a} gf = g (a) \ mathrm {Res} _ {a} f}
• Hvis f a en har nul af rækkefølge 1  :;Respå⁡1f=1f′(på){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {1} {f}} = {\ tfrac {1} {f '(a)}}}
• Hvis f har en nul af orden 1 og hvis g er holomorf i en  :  ;Respå⁡gf=g(på)f′(på){\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {g} {f}} = {\ tfrac {g (a)} {f '(a)}}}
• Hvis f har en nulteordens n  :  ;Respå⁡f′f=ikke{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} {\ tfrac {f '} {f}} = n}
• Hvis f har en nulteordens n og hvis g er holomorf har  : .Respå⁡gf′f=g(på)ikke{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {a} g {\ tfrac {f '} {f}} = g (a) n}

Eksempler

• Respåf=0{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {a} f = 0}når f er holomorf i a .
• Enten . f har ved 0 en pol af orden 1, og .f(z)=1z{\ displaystyle f (z) = {\ tfrac {1} {z}}}Res0f=1{\ displaystyle \ mathrm {Res} _ {0} f = 1}
• f(z)=cos⁡(z)z=1z-z2!+z34!-⋯{\ displaystyle f (z) = {\ tfrac {\ cos (z)} {z}} = {\ tfrac {1} {z}} - {\ tfrac {z} {2!}} + {\ tfrac { z ^ {3}} {4!}} - \ cdots} i nærheden af ​​0. Resten er derfor værd 1.
• Res1⁡zz2-1=12{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {1} {\ tfrac {z} {z ^ {2} -1}} = {\ tfrac {1} {2}}}, som det kan ses med det samme med linearitet og den logaritmiske afledte regel , da a i 1 er nul i rækkefølge 1.z↦z2-1{\ displaystyle z \ mapsto z ^ {2} -1}
• Den gammafunktionen har i -n for alle en pol af orden 1, og resten er værd .ikke∈IKKE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}Res-ikke⁡Γ=(-1)ikkeikke!{\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {- n} \ Gamma = {\ tfrac {(-1) ^ {n}} {n!}}}

Rest sætning

Lad f være en holomorf funktion på , en stjernemærket åben eller mere generelt simpelthen forbundet , bortset fra måske at præsentere singulariteter isoleret på punkterne i sættet . Så hvis der er trukket en blonde og ikke møder S , har vi: Ω{\ displaystyle \ Omega}S⊂Ω{\ displaystyle S \ subset \ Omega}γ{\ displaystyle \ gamma}Ω{\ displaystyle \ Omega}

∫γf(z)dz=2jegπ∑z∈SIndγ⁡(z)Res⁡(f,z){\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm {d} z = 2 \ mathrm {i} \ pi \ sum _ {z \ in S} \ operatorname {Ind} _ {\ gamma} (z) \ operatorname {Res} (f, z)}

hvor er indekset for stien til punkt z . jegikkedγ(z){\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z)}γ{\ displaystyle \ gamma}

Referencer

• Claude Wagschal, Holomorfe funktioner. Differentialligninger , Hermann, coll. “Metoder”, 2003, s. 119-120.
• Augustin Louis Cauchy, Matematikøvelser , 1826, s. 11 Se online

(de) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på tysk med titlen “  Residuum (Funktionentheorie)  ” ( se forfatterliste ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">