Lemma af Fatou
Den Fatou lemma er en vigtig resultat i teorien om Lebesgue integration . Det blev demonstreret af den franske matematiker Pierre Fatou (1878-1929). Dette lemma sammenligner integralet af en nedre grænse af positive målbare funktioner med den nedre grænse for deres integraler.
Det præsenteres generelt i en række med tre resultater: først den monotone konvergenssætning , som derefter tjener til at bevise Fatous lemma, derefter bruges denne til at bevise den dominerede konvergenssætning .
Dette lemma kaldes undertiden "Fatou-Lebesgue-sætningen".
Stater
Lad være et målt rum . For enhver sekvens af målelige funktioner på med værdier i [0, + ∞] , den nedre grænse af sekvensen er målelige og vi har:
(E,PÅ,μ){\ displaystyle (E, {\ mathcal {A}}, \ mu)}
(fikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
E{\ displaystyle E}![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
∫lim infikke→∞fikke dμ≤lim infikke→∞∫fikke dμ{\ displaystyle \ int \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d } \ mu}![{\ displaystyle \ int \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d } \ mu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f36549d17bab1e4dacaea64285d6ecdd7c18680)
.
Lighed er generelt ikke verificeret.
Demonstration
Per definition er funktionen den enkle grænse for den stigende rækkefølge af (positive målbare) funktioner defineret af:
lim infikke→∞fikke{\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n}}
gs{\ displaystyle g_ {p}}![g_ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8699118cdd0dd2bded6fe4d529a6af245d7a83)
∀x∈E,gs(x)=infikke≥sfikke(x){\ displaystyle \ forall x \ i E, \ quad g_ {p} (x) = \ inf _ {n \ geq p} f_ {n} (x)}![{\ displaystyle \ forall x \ i E, \ quad g_ {p} (x) = \ inf _ {n \ geq p} f_ {n} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce1e718dd570f551e2c3a307e40f4e222a44f215)
.
Derfor gælder den monotone konvergenssætning og giver:
∫lim infikke→∞fikke dμ=∫lims→∞gs dμ=lims→∞∫gs dμ{\ displaystyle \ int \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int \ lim _ {p \ to \ infty} g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ lim _ {p \ to \ infty} \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu}![{\ displaystyle \ int \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int \ lim _ {p \ to \ infty} g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ lim _ {p \ to \ infty} \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5815e1b7f0216ed0d9ee935bcf06ae8f3c497a5e)
.
Nu for alt , ved definition af og vækst af integralet, har vi:
s∈IKKE{\ displaystyle p \ in \ mathbb {N}}
gs{\ displaystyle g_ {p}}![g_ {p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8699118cdd0dd2bded6fe4d529a6af245d7a83)
∀ikke≥s,∫gs dμ≤∫fikke dμ{\ displaystyle \ forall n \ geq p, \ quad \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}![{\ displaystyle \ forall n \ geq p, \ quad \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ca141faafb197cf200db2be40afbf17a8bfa6a)
,
med andre ord :
∫gs dμ≤infikke≥s∫fikke dμ{\ displaystyle \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ inf _ {n \ geq p} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}![{\ displaystyle \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ inf _ {n \ geq p} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7895e3c556d194315915efc1c6e5467e5fb8b4c5)
,
så det
lims→∞∫gs dμ≤lims→∞infikke≥s∫fikke dμ=lim infikke→∞∫fikke dμ{\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ lim _ {p \ to \ infty} \ inf _ {n \ geq p} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}![{\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ lim _ {p \ to \ infty} \ inf _ {n \ geq p} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1b65196c9fbe0522ae5992847d383995c54387)
.
Eksempler
Streng ulighedssag
Følgende eksempel viser, at lighed ikke generelt kontrolleres. Overveje sekvensen på udstyret med Lebesguemålet, således at og . Så for alt , derfor , mens for alt .
(fikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
E: =[0,2]{\ displaystyle E: = [0,2]}
f2ikke=1[0,1]{\ displaystyle f_ {2n} = 1 _ {[0,1]}}
f2ikke+1=1]1,2]{\ displaystyle f_ {2n + 1} = 1 _ {] 1,2]}}
gs=0{\ displaystyle g_ {p} = 0}
s{\ displaystyle p}
lims∫[0,2]gs dx=0{\ displaystyle \ lim _ {p} \ int _ {[0,2]} g_ {p} ~ \ mathrm {d} x = 0}
∫[0,2]fikke dx=1{\ displaystyle \ int _ {[0,2]} f_ {n} ~ \ mathrm {d} x = 1}
ikke{\ displaystyle n}![{\ displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Indikatorer
Ved at anvende Fatou lemma til det tilfælde, hvor hver f n er indicatrix af en målelig del A n af E , får vi:
μ(lim infikkePÅikke)≤lim infikkeμ(PÅikke){\ displaystyle \ mu (\ liminf _ {n} A_ {n}) \ leq \ liminf _ {n} \ mu (A_ {n})}![{\ displaystyle \ mu (\ liminf _ {n} A_ {n}) \ leq \ liminf _ {n} \ mu (A_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b2dc923608e7e7741ccdfc2d5c06be054045044)
,
hvor den nedre venstre grænse er den nedre grænse for den indstillede sekvens .
Bemærk dog, at vi kan opnå dette resultat direkte uden at benytte Fatous lemma. Faktisk ved at øge sekvensen har vi det
(∩ikke≥IKKEPÅikke)IKKE{\ displaystyle (\ cap _ {n \ geq N} A_ {n}) _ {N}}![(\ cap _ {{n \ geq N}} A_ {n}) _ {N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b9438238172843bb5e9fffe652c0d5ccbe260f)
μ(∪IKKE∈IKKE∩ikke≥IKKEPÅikke)=limIKKEμ(∩ikke≥IKKEPÅikke)≤limIKKEinfikke≥IKKEμ(PÅikke){\ displaystyle \ mu \ left (\ cup _ {N \ in \ mathbb {N}} \ cap _ {n \ geq N} A_ {n} \ right) = \ lim _ {N} \ mu \ left (\ cap _ {n \ geq N} A_ {n} \ right) \ leq \ lim _ {N} \ inf _ {n \ geq N} \ mu (A_ {n})}![{\ displaystyle \ mu \ left (\ cup _ {N \ in \ mathbb {N}} \ cap _ {n \ geq N} A_ {n} \ right) = \ lim _ {N} \ mu \ left (\ cap _ {n \ geq N} A_ {n} \ right) \ leq \ lim _ {N} \ inf _ {n \ geq N} \ mu (A_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8824170450b50dd20a5dbfd412db74b8c94a3f48)
.
Noter og referencer
-
(i) NL Carothers, Reel analyse , Cambridge University Press ,2000( læs online ) , s. 321.
-
Srishti D. Chatterji, Analysekursus , bind. 1: Vector analyse , pPur ,1997( læs online ) , s. 241-242.
-
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , All-in-one Mathematics for License 3 , Dunod ,2015( læs online ) , s. 250(som en del af den komplette Kurzweil-Henstock ).
-
Eller, for alle per definition og vækst af integralet, og ved monotoni operatøren , .ikke∈IKKE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
gikke{\ displaystyle g_ {n}}
∫gikke dμ≤∫fikke dμ{\ displaystyle \ int g_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}
lim inf{\ displaystyle \ liminf}
lims→∞∫gs dμ=lim infikke→∞∫gikke dμ≤lim infikke→∞∫fikke dμ{\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} \ int g_ {p} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int g_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">