Komplet Kurzweil-Henstock

I matematik , og mere specifikt i analysen , den Kurzweil-Henstock eller Henstock-Kurzweil integral (eller KH-integral , eller gauge integral eller fuld Riemann integral ) blev udviklet uafhængigt i 1950'erne af Jaroslav Kurzweil og Ralph Henstock (i) med henblik på at præsentere en teori om integration, der er bare mere kompliceret at forklare end Riemann-integralen , men mindst lige så kraftig som Lebesgue-integralen . Det svarer til den integrerede del af Denjoy eller Perron, der stammer fra 1910'erne, men hvis præsentation var ret tung, og som var gået i brug i 1940'erne.

Sammenlignet med Lebesgue-integralen har KH-integralen den fordel, at enhver afledt funktion er integrerbar, og at det ikke er nødvendigt at introducere begrebet forkert integral . Det gør det muligt fra de første år af videregående uddannelse at indføre en integreret udstyret med kraftfulde sætninger og meget tæt på Lebesgue-integralen (som det er let at introducere bagefter som et specielt tilfælde).

Definitioner

Lad $[ a , b ] være$ et rigtigt segment . Vi kalder en markeret (eller stiplet) underopdeling af $[ a , b ]$ ethvert par af endelige familier af punkter $( x 0 , x 1 ,\dots, x n )$ og $( t 1 , t 2 ,\dots, t n )$ således at $a = x_ {0} <x_ {1} <... <x_ {n} = b \ quad {\ mbox {and}} \ quad \ forall i \ in \ {1, \ dots, n \}, ~ x _ {{i-1}} \ leqslant t_ {i} \ leqslant x_ {i}.$ Vi siger, at $t i$ markerer (eller peger på) segmentet $[ x i -1 , x i ]$ .
Hvis $δ$ er en funktion defineret på $[ a , b ]$ med strengt positive værdier, siger vi, at $δ$ er en måler (på $[ a , b ]$ ), og underinddelingen siges at være $δ-$ fin, hvis

{\ displaystyle \ forall i \ i \ {1, \ prikker, n \}, ~ x_ {i} -x_ {i-1} \ leqslant \ delta (t_ {i}).}

En vigtig sætning, fætterens lemma , bruges ofte i teorien om KH-integration; han bekræfter, at der uanset den valgte måler er markerede underinddelinger finere end denne måler.

En funktion $f$ afgrænset eller ikke på et segment $[ a , b ]$ , med reelle eller komplekse værdier, er integrerbar i betydningen Kurzweil-Henstock (eller KH-integrerbar) af integral $A$ , hvis: for alle $ε > 0$ , er en måler $δ$ således at for alle markerede underafsnit $(( x i ) ( t i ))$ $δ$ -Fint, vi har: . Nummeret $A$ er så unikt og kaldes integralet af $f$ over $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . Vi bemærker det derefter
${\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i}) - A \ right | \ leqslant \ varepsilon}$ $\ int _ {a} ^ {b} f (t) {\ mathrm d} t.$
Beløbet kaldes Riemann sum af $f$ med hensyn til den markerede valgte underopdeling. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i})}$

Vi bemærker, at hvis vi tager konstante $j-$ målere , finder vi definitionen af Riemann-integralet . KH-integralet består i at erstatte disse konstante målere med variable målere.

I det tilfælde hvor $f$ er defineret i et interval $I,$ som ikke er et segment, siger vi, at $f$ er KH-integreret med integreret $A$ , hvis der for alle $ε > 0$ findes en måler $δ$ på $I$ og et segment $[ a , b ]$ inkluderet i $I$ således, at vi for enhver markeret underopdeling $(( x i ), ( t i ))$ $δ$ -fin af et segment inkluderet i $I$ og indeholdende $[ a , b ]$ har:
${\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {i-1}) f (t_ {i}) - A \ right | \ leqslant \ varepsilon.}$

Ejendomme

Sættet med KH-integrerbare funktioner danner et ordnet vektorrum (de), og integralet er en positiv lineær form på dette rum.
På et segment er enhver Riemann-integrerbar funktion KH-integrerbar (og ligeledes integreret).
Begrebet forkert integral er ubrugelig med KH-integralet. Faktisk ifølge Hakes sætning :En funktion $f$ defineret over et interval $I = ( a , b )$ (ikke nødvendigvis afgrænset og ikke nødvendigvis indeholder $a$ eller $b$ ) er KH-integrerbar over $I,$ hvis og kun hvis den er over et hvilket som helst segment $[ c , d ]$ inkluderet i $] a , b [$ og hvis grænsen eksisterer og er endelig. Dens integrale over $I$ er så lig med denne grænse. ${\ displaystyle \ lim _ {c \ til a ^ {+}, d \ til b ^ {-}} \ int _ {c} ^ {d} f (t) \, \ mathrm {d} t}$ Vi udleder for eksempel (ved hjælp af det foregående punkt):
- på segmentet $[0, 1]$ er funktionen $x \mapsto 1 / \sqrt x$ hvis $x \neq 0$ og $0 \mapsto 0$ (ikke Riemann-integrerbar, fordi ubegrænset) er KH-integrerbar;
- on $] 0, + \infty [$ , funktionen $x \mapsto synd x / x$ er KH-integrerbar (integreret $π / 2$ : det er Dirichlet-integralet ), og dets absolutte værdi er ikke.
Den anden grundlæggende sætning i analysen udtrykkes som følger:Hvis $F$ er et generaliseret antiderivativ af $f$ over $[ a , b ]$ , så er $f$ KH-integrerbar og ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, \ mathrm {d} t = F (b) -F (a).}$
Den første grundlæggende analysesætning udtrykkes som følger:Hvis $f$ er KH-integrerbart løbet $[ a , b ]$ , derefter funktionen er kontinuert og næsten overalt indrømmer et derivat lig med $f$ . ${\ displaystyle F: x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}$ Det følger heraf, at $f$ er Lebesgue - målbar , da grænsen næsten overalt for sekvensen af kontinuerlige funktioner $x \mapsto n ( F ( x + 1 / n ) - F ( x ))$ .
En funktion f er Lebesgue-integrerbar, hvis og kun hvis f og | f | er KH-integrerbare, og de to integraler af f (i betydningen Lebesgue og i betydningen Kurzweil-Henstock) er derefter ens. Især for positive funktioner er Lebesgue-integrerbarhed og KH-integrabilitet ækvivalente. En del af ℝ er derfor Lebesgue-målbar og af begrænset Lebesgue- mål, hvis og kun hvis dens karakteristiske funktion er KH-integrerbar. For eksempel :
- den Dirichlet funktionen (lig med 1 om rationals og 0 på irrationals , og som ikke er lokalt Riemann-integrable) er Lebesgue-integrable og derfor KH-integrerbart (nul integral).
- hvis V er en ikke-målelig del af $[0, 1]$ , er dens karakteristiske funktion $1 V$ , positiv og ikke Lebesgue-målbar, ikke KH-integrerbar (derfor $1 V - 1 [0, 1] \ V = 2 1 V - 1 [0, 1]$ enten).
Den monotone konvergens sætning og den dominerede konvergens sætning er sand med KH-integralen. Denne sidste udledes af en sætning om indrammet konvergens , stærkere, fordi det gør det muligt at behandle tilfældet med funktioner, hvis absolutte værdi ikke er integrerbar.

Noter og referencer

Jean-Pierre Demailly , Elementær teori om integration: Kurzweil-Henstock-integralen ,2011( læs online [PDF] ).
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , All-in-one Mathematics for License 3 , Dunod ,2015( læs online ) , s. 195-259.
J.-P. Ramis, A. Warusfel et al., All-in-one Mathematics for License 2 , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( læs online ) , s. 547-549.
For eksempel kan vi læse præsentationen af Demailly 2011 , der bruges som kursusstøtte ved University of Grenoble-I .
Demailly 2011 , s. 11, def. 2,5; Ramis, Warusfel et al. 2015 , s. 198, def. 16; Ramis, Warusfel et al. 2014 , s. 591, def. 10.
Følgende variation findes i Lee Peng Yee og Rudolf Výborný, The Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock , Cambridge University Press ,2000, 311 s. ( ISBN 978-0-521-77968-5 , online præsentation ) , s. 23 : $t i - δ ( t i ) < x i -1 \leq t i \leq x i < t i + δ ( t i )$ .
Ramis, Warusfel et al. 2015 , s. 202.
Ramis, Warusfel et al. 2015 , s. 224.
Ramis, Warusfel et al. 2015 , s. 204.
(in) " Heinrich Hake " , på webstedet for Mathematics Genealogy Project , (of) " thesis " om DDB ,1921.
Ramis, Warusfel et al. 2015 , s. 227-229.
Se det tilsvarende afsnit i artiklen om fætterens lemma .
Det vil sige et kontinuerligt kort som på supplement af en tællelig mængde , har til afledte $f$ .
Ramis, Warusfel et al. 2015 , s. 232 og 236.
(i) Russell A. Gordon, integralerne af Lebesgue, Denjoy, Perron, og Henstock , AMS ,1994( læs online ) , s. 145.
(i) Charles Swartz, at Introduktion Gauge integraler , World Scientific ,2001( læs online ) , s. 136.
Ramis, Warusfel et al. 2015 , s. 283.
Ramis, Warusfel et al. 2015 , s. 249-250 og 269.

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

Jean-Yves Briend, Lille-traktaten Integration , EDP Sciences , 2014 [ online præsentation ]
Roger Cuculière, ” Hvilket integreret år 2000? », Repères IREM , nr . 31,April 1998
Clément Kesselmark og Laurent Moonens, " The fundamental theorems of integral calculus ", Gazette des mathématiciens , nr . 141,juli 2014, s. 49-67
Jean Mawhin , analyse. Fundamenter, teknikker, evolution , Access Sciences, De Boeck University, Bruxelles, 1993