Lemma fra Hensel
I matematik er Hensels lemma et resultat, der gør det muligt at udlede eksistensen af en rod af et polynom fra eksistensen af en omtrentlig løsning . Det er opkaldt efter matematikeren af den tidlige XX th århundrede Kurt Hensel . Dens demonstration er analog med Newtons metode .
Begrebet Henselian ring grupperer de ringe, hvor Hensels lemma gælder. De mest almindelige eksempler er ℤ p (ringen af p -adiske heltal , for p et primtal ) og k [[ t ]] (ringen af formel serie over et felt k ) eller mere generelt ringene med fuldstændig diskret vurdering .
Erklæringer
Vi betragter et polynom P med koefficienter i ℤ p (ringen af p -adiske heltal , med p prime ).
Hensels lemma version 1.
Hvis der er sådan noget
a0∈Zs{\ displaystyle \ alpha _ {0} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(a0)≡0(mods)etP′(a0)≢0(mods),{\ displaystyle P (\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p}} \ quad {\ rm {et}} \ quad P '(\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}},}
så eksisterer det sådan, at
a∈Zs{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {p}}
P(a)=0eta≡a0(mods).{\ displaystyle P (\ alpha) = 0 \ quad {\ rm {and}} \ quad \ alpha \ equiv \ alpha _ {0} {\ pmod {p}}.}
Mere generelt, hvis en Noetherian-ring A er komplet for I -adisk topologi for et bestemt ideal I, og hvis P er et polynom med koefficienter i A, så er ethvert element α 0 af A sådan, at modulo I , P (α 0 ) er nul, og P ' (α 0 ) er inverterbar , stiger entydigt i en rod af P i a .
Betingelsen er vigtig. Ligningen har således ingen løsning i (en sådan løsning skal være kongruent til 2 modulo 5 ; posering ville vi derfor have , hvilket er absurd, da 30 ikke kan deles med 25), hvorimod den har en i , da den kan deles med 5; dette forklares, fordi det er identisk nul i .
P′(a0)≢0(mods){\ displaystyle P '(\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p}}}
x5=2{\ displaystyle X ^ {5} = 2}
Z5{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {5}}
på{\ displaystyle a}
på=2+5x{\ displaystyle a = 2 + 5x}
2=(2+5x)5=32+5×16×5x+10×8×(5x)2+...{\ displaystyle 2 = (2 + 5x) ^ {5} = 32 + 5 \ gange 16 \ gange 5x + 10 \ gange 8 \ gange (5x) ^ {2} + \ prikker}
Z/5Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}
25-2{\ displaystyle 2 ^ {5} -2}
P′(x){\ displaystyle P '(X)}
Z/5Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}}
Hensels lemma version 2.
Hvis der findes sådan, at vi har det
for et heltal Na0∈Zs{\ displaystyle \ alpha _ {0} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}P′(a0)≡0(modsIKKE),P′(a0)≢0(modsIKKE+1)etP(a0)≡0(mods2IKKE+1),{\ displaystyle P '(\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {N}}}, \ quad P' (\ alpha _ {0}) \ not \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {N + 1}}} \ quad {\ rm {and}} \ quad P (\ alpha _ {0}) \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {2N + 1}}},}
så eksisterer det sådan, at
a∈Zs{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z} _ {p}}P(a)=0eta≡a0(modsIKKE+1).{\ displaystyle P (\ alpha) = 0 \ quad {\ rm {and}} \ quad \ alpha \ equiv \ alpha _ {0} {\ pmod {p ^ {N + 1}}}.}
Hensels lemma version 3.
Lad K være et komplet felt , der ikke er arkimedisk , | ∙ | en absolut værdi på K associeret med dens værdiansættelse, O K dens ring af heltal , f ∈ O K [ X ] og x et element i O K, således atvs.: =|f(x)f′(x)2|<1.{\ displaystyle c: = \ left | {\ frac {f (x)} {f '(x) ^ {2}}} \ right | <1.}
Så:
- sekvensen defineret af og gentagelsesformlen: er veldefineret og opfylder(xikke)ikke∈IKKE{\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
x0: =x{\ displaystyle x_ {0}: = x}
xikke+1: =xikke-f(xikke)f′(xikke){\ displaystyle x_ {n + 1}: = x_ {n} - {\ frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {n})}}}
|f(xikke)|⩽vs.2ikke|f′(x0)|2et|xikke+1-xikke|⩽vs.2ikke|f′(x0)| ;{\ displaystyle \ vert f (x_ {n}) \ vert \ leqslant c ^ {2 ^ {n}} \ vert f '(x_ {0}) \ vert ^ {2} \ quad {\ rm {and}} \ quad \ vert x_ {n + 1} -x_ {n} \ vert \ leqslant c ^ {2 ^ {n}} \ vert f '(x_ {0}) \ vert ~;}
- den konvergerer i O K til en rod ξ af f og∀ikke∈IKKE|ξ-xikke|⩽|f(x)f′(x)|2ikke ;{\ displaystyle \ forall n \ i \ mathbb {N} \ quad \ vert \ xi -x_ {n} \ vert \ leqslant \ left | {\ frac {f (x)} {f '(x)}} \ right | ^ {2 ^ {n}} ~;}
-
ξ er den eneste rod af f i den åbne kugle af O K med center x og radius | f ( x ) / f '( x ) | .
Hensels lemma version 4.
Enhver komplet lokal ring er Henselian (in) , dvs. A, der betegner denne ring og k dens resterende felt , at hvis en enhedspolynom f ∈ A [ X ] har et billede i k [ X ] et produkt af to polynomer g og h prime mellem dem , så g og h er rejst i to polynomier af A [ X ] produkt f .
Dette " Hensel " -lemma blev demonstreret af Theodor Schönemann i 1846.
Ansøgninger
Hensels lemma kan anvendes i en lang række situationer.
Familie af ortogonale idempotenter
Lad A være en lokal etherisk ring, komplet for M- adic topologi forbundet med dens maksimale ideelle M , og B for en kommutativ A- algebra , af endelig type som A- modul . Så hver familie af idempotents "ortogonale" af B / MB stiger, entydigt, i en familie af ortogonale idempotents af B .
Faktisk er idempotenterne rødderne til polynomet P ( X ): = X 2 - X , og hvis P ( e ) er nul, er P ' ( e ) dens egen inverse. Nu B er fuldstændig (i) for topologi MB -adic, tillader, takket være lemma af Hensel (version 1 ovenfor) for at opfylde hver idempotent af B / MB i en idempotent af B . Endelig, hvis to idempotenter af B er ortogonale modulo MB , så er de i det absolutte: deres produkt x er nul, fordi (ved fuldstændighed) 1 - x er inverterbar eller x (1 - x ) = 0.
Faktorisering af polynomer med heltalskoefficienter
Algoritmerne til faktorisering af polynomer med heltalskoefficienter i irreducerbare faktorer bruger først en faktorisering i et endeligt felt, som derefter skal samles igen i ringen for et bestemt k af . Denne genopretning sker takket være et bestemt tilfælde af Hensels lemma, der er angivet nedenfor:
Fs{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}
Z/s2kZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}}
IKKE{\ displaystyle \ mathbb {N}}
Lad p være et primtal, og P et polynom med heltalskoefficienter, enhed, nedbrudt til et produkt af to polynomer med koefficienter i .
G0H0{\ displaystyle G_ {0} H_ {0}}
Z/sZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}
Vi antager og primerer indbyrdes Bézout-koefficienter i .
G0{\ displaystyle G_ {0}}
H0{\ displaystyle H_ {0}}
U0,V0{\ displaystyle U_ {0}, V_ {0}}
Z/sZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p \ mathbb {Z}}}
Så for alt er der en unik firedel af polynomer som:
k∈IKKE{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}
Z/s2kZ,(Gk,Hk,Uk,Vk){\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}, (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}
- tilxk+1=xk[s2k]{\ displaystyle X_ {k + 1} = X_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}]}![{\ displaystyle X_ {k + 1} = X_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3cf84fa23d1d23372f5fb42eb1ae8cbc07c829e)
x∈{Gk,Hk,Uk,Vk}{\ displaystyle X \ in \ lbrace G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k} \ rbrace}
- er primære indbyrdes, enhed, med Bézout-koefficienter iGk,Hk{\ displaystyle G_ {k}, H_ {k}}
Uk,Vk{\ displaystyle U_ {k}, V_ {k}}
Z/s2kZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}}}
- P=GkHk{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k}}
Demonstration
Lad os fortsætte med induktion videre .
k{\ displaystyle k}
Initialiseringen er givet ved hypotesen.
For arvelighed antager vi eksistensen af en bestemt rang . Vi prøver at bygge .
(Gk,Hk,Uk,Vk){\ displaystyle (G_ {k}, H_ {k}, U_ {k}, V_ {k})}
k⩾0{\ displaystyle k \ geqslant 0}
(Gk+1,Hk+1){\ displaystyle (G_ {k + 1}, H_ {k + 1})}
Vi har ved hypotese, at der derfor eksisterer sådan, at .
P=GkHk [s2k]{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k}}]}![{\ displaystyle P = G_ {k} H_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfde7c628c3ae0aa82ad6cbae7bbf5353dace572)
Rk∈Z/s2kZ[x]{\ displaystyle R_ {k} \ i \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}} [X]}![{\ displaystyle R_ {k} \ i \ mathbb {Z} / _ {p ^ {2 ^ {k}} \ mathbb {Z}} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3349636b43f2aad976a8c3971260ae3827954ab)
P-GkHk=s2kRk [s2k+1]{\ displaystyle P-G_ {k} H_ {k} = p ^ {2 ^ {k}} R_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}![{\ displaystyle P-G_ {k} H_ {k} = p ^ {2 ^ {k}} R_ {k} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a543b4b47f1369b8b6c8c484454234e22795f81d)
Vi kalder derefter og de respektive rester af den euklidiske opdeling af par og par .
hk{\ displaystyle h_ {k}}
gk{\ displaystyle g_ {k}}
UkRk{\ displaystyle U_ {k} R_ {k}}
Hk{\ displaystyle H_ {k}}
VkRk{\ displaystyle V_ {k} R_ {k}}
Gk{\ displaystyle G_ {k}}
Vi udgør {Gk+1=Gk+s2kgkHk+1=Hk+s2khk{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} + p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} + p ^ {2 ^ {k}} h_ {k} \\\ end {array}} \ højre.}
Lad os kontrollere, at det passer:
Ved konstruktion, {Gk+1=Gk[s2k]Hk+1=Hk[s2k]{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\\ slut {array}} \ højre.}![{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} G_ {k + 1} = & G_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\ H_ {k + 1} = & H_ {k} [p ^ {2 ^ {k}}] \\\ slut {array}} \ højre.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b983be24a6e53ae8f96e7390a00bbf0dbb91ea)
De dominerende koefficienter for og er de af og på grund af og resultatet af en euklidisk opdeling. Så og er enhed, og vi bekræfter det ved en simpel beregning .
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}
Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}
Gk{\ displaystyle G_ {k}}Hk{\ displaystyle H_ {k}}gk{\ displaystyle g_ {k}}hk{\ displaystyle h_ {k}}Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}P=Gk+1Hk+1 [s2k+1]{\ displaystyle P = G_ {k + 1} H_ {k + 1} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}![{\ displaystyle P = G_ {k + 1} H_ {k + 1} ~ [p ^ {2 ^ {k + 1}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17d5ad36bfb9b3f8163bbf9936da18498fd85d7)
Endelig viser vi, ved at vise Bézout-koefficienter, at og er coprime.
Gk+1{\ displaystyle G_ {k + 1}}Hk+1{\ displaystyle H_ {k + 1}}
Vi udgør {Uk+1=2Uk-Gk+1Uk2 mod Hk+1Vk+1=2Vk-Hk+1Vk2 mod Gk+1{\ displaystyle \ left \ lbrace {\ begin {array} {cc} U_ {k + 1} = & 2U_ {k} -G_ {k + 1} U_ {k} ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1} \\ V_ {k + 1} = & 2V_ {k} -H_ {k + 1} V_ {k} ^ {2} ~ mod ~ G_ {k + 1} \\\ end {array}} \ højre .}
Vi har: .
Uk+1Gk+1=1-(UkGk+1-1)2 mod Hk+1{\ displaystyle U_ {k + 1} G_ {k + 1} = 1- (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} ~ mod ~ H_ {k + 1}}
Og som fuldender beviset.
(UkGk+1-1)2=(Uks2kgk-HkVk)2 modHk+1=(Uks2kgk-(Hk+1-skhk)Vk)2 modHk+1=0{\ displaystyle (U_ {k} G_ {k + 1} -1) ^ {2} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} -H_ {k} V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = (U_ {k} p ^ {2 ^ {k}} g_ {k} - (H_ {k + 1} -p ^ {k} h_ {k}) V_ {k}) ^ {2} ~ modH_ {k + 1} = 0}
Den følgende algoritme gør det muligt at konstruere polynomierne og lemmaet.
Gk,Hk,Uk,{\ displaystyle G_ {k}, H_ {k}, U_ {k},}
Vk{\ displaystyle V_ {k}}
Entrée : p un nombre premier, k un entier,
P,G,H,U,V{\displaystyle P,G,H,U,V}
des polynômes avec
P=GH [p]{\displaystyle P=GH~[p]}![{\displaystyle P=GH~[p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9444bce91e86153b2f562db7735c64f585ca3cc0)
et
GU+HV=1 [p]{\displaystyle GU+HV=1~[p]}![{\displaystyle GU+HV=1~[p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024d8eb8462b685f9c919609b395f30fb08bacac)
Sortie :
G,H,U,V{\displaystyle G,H,U,V}
tels que
P=GH [p2k]{\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}![{\displaystyle P=GH~[p^{2^{k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b164bb35a11322eeb8afff355f575f5d70d9acce)
et
GU+HV=1 [p2k]{\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}![{\displaystyle GU+HV=1~[p^{2^{k}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9612a2e376a23d0ad1399993e3ceb1cf3475d81d)
Pour i = 1 à k-1
R←P−GHpi{\displaystyle R\leftarrow {\dfrac {P-GH}{p^{i}}}}
G←H+pi{\displaystyle G\leftarrow H+p^{i}}
*Div_Euclide
(UR,H){\displaystyle (UR,H)}
H←G+pi{\displaystyle H\leftarrow G+p^{i}}
*Div_Euclide
(VR,G){\displaystyle (VR,G)}
U←{\displaystyle U\leftarrow }
Div_Euclide
(2U−U2G,H){\displaystyle (2U-U^{2}G,H)}
V←{\displaystyle V\leftarrow }
Div_Euclide
(2V−V2H,G){\displaystyle (2V-V^{2}H,G)}
retourne
(G,H,U,V){\displaystyle (G,H,U,V)}
Noter og referencer
-
(i) Akhil Mathew, " Fuldførelser " på cring-projekt .
-
(i) David Eisenbud , Kommutativ Algebra: with a View Toward algebraisk geometri , Springer al. " GTM " ( nr . 150)1995, 785 s. ( ISBN 978-0-387-94269-8 , læs online ) , s. 189-190angiver, at den "lokale" hypotese ikke er nødvendig (udsagnet er derefter gyldigt for enhver ideal M af A ) og udvider beviset for eksistens (uden unikhed) til det tilfælde, hvor A ikke er kommutativ, men kun for en familie højst tælles .
-
Det vil sige, hvis produkter to og to er nul.
-
Abuaf Roland og Boyer Ivan, " Faktorisering iZ[x]{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}
![{\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
", mesterens tale foreslået af François Loeser ,20. juni 2007( læs online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">