Den lemma af Poincarés er et grundlæggende resultat i multivariat analyse og differential geometri . Det drejer sig om differentieringsformerne (implicit i klasse C 1 ) på en differentieringsmanifold (implicit glat ).
Ifølge til Schwarz sætning , hver præcis forskellen formularen er lukket . Den lemma af Poincarés sikrer gensidig delvis:
Så det, på en differentieret manifold M , enhver lukket p -form er præcis, er det tilstrækkeligt:
Under disse antagelser omformuleres konklusionen af Poincarés lemma med hensyn til De Rhams kohomologi .
Især er enhver lukket differentieret form lokalt nøjagtig.
Alle de anvendte begreber er detaljeret via de interne links , men lad os huske og kommentere de vigtigste.
En p -form ω på en manifold M siges:
Den p -th plads af cohomology af Rham af M er kvotienten H p ( M ) af rummet af lukkede figurer af underrum nøjagtige former. Det er derfor nul, hvis og kun hvis en lukket form er nøjagtig.
En topologisk rum M siges kontraktile hvis homotopically ækvivalent til et punkt, dvs., hvis dens identitet kort er homotop med en konstant anvendelse af M i M , eller hvis M er tilbagetrukket ved deformation på et punkt. Det er en tilstand, der er stærkere end trivialiteten af alle homotopigrupper af M , men ækvivalent, hvis M er en differentieret manifold. Desuden kan de påberåbte homotopier, a priori kun kontinuerlige , faktisk vælges glatte .
Ethvert kontraktilt rum er simpelthen forbundet, men der er simpelthen forbundne sorter, der ikke er kontraktile, såsom kuglen . Desuden er en kompakt sort uden kant aldrig kontraktil.
Enhver åben U på ℝ n er en differentialmanifold. Hvis U er stelleret, er den kontraktil og fortiori simpelthen forbundet. Lad os i dette særlige tilfælde vise, at enhver lukket 1-form ω på U er nøjagtig, dvs. det er differensen af en 0-form (en funktion).
Antag at U er stjernemarkeret omkring a , definer en funktion f på U ved krumlinjære integraler på segmenter :
og vis at d f = ω på et hvilket som helst punkt x af U , dvs. (for x fast og for alle x + v i en kugle med center x inkluderet i U ):
Ifølge til Green sætning anvendt på trekant ( en , x , x + v ) , vi har (da ω er lukket)
Nu ved kontinuitet af ω i punkt x ,
Vi har derfor:
(For at udvide dette bevis til enhver enkelt tilsluttet manifold er det tilstrækkeligt at erstatte segmenterne med stier og Green's sætning med Stokes .)